東京医科歯科大学 前期 2010年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2010年度
問No 問2
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 図形と計量 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\Ten{\begin{picture}(7.5, 8) \put(4, 3.5){\circle*{2}} \end{picture}} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\fboxsep=1.5mm\framebox[7mm][c] {\textsf{\Large#1}}} } \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \hfill 医学部医学科 \\[5mm]\Nbr{2}\ \ 座\hspace*{.5pt}標\hspace* {.5pt}空\hspace*{.5pt}間\hspace*{.5pt}に\hspace*{.5pt}お\hspace*{.5pt}い% \hspace*{.5pt}て,\makebox[1zw][c]{8}点O\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,0\,,\ \,0\,)% \hspace*{1pt},\ \ A\hspace*{1pt}(\,1\,,\ \,0\,,\ \,0\,)\hspace*{1pt},\ \ % B\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,1\,,\ \,0\,)\hspace*{1pt},\ \ C\hspace*{1pt}(\,0\,,\\ [1.2mm]\qquad\,0\,,\ \,1\,)\hspace*{1pt},\ \ D\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,1\,,\ \,% 1\,)\hspace*{1pt},\ \ E\hspace*{1pt}(\,1\,,\ \,0\,,\ \,1\,)\hspace*{1pt},\ \ % F\hspace*{1pt}(\,1\,,\ \,1\,,\ \,0\,)\hspace*{1pt},\ \ G\hspace*{1pt}(\,1\,,% \ \,1\,,\ \,1\,)をとり,この\\[1.5mm]\qquad\,8点\hspace*{.7pt}を\hspace*{.7pt}% 頂\hspace*{.7pt}点\hspace*{.7pt}と\hspace*{.7pt}す\hspace*{.7pt}る\hspace* {.7pt}立\hspace*{.7pt}方\hspace*{.7pt}体\hspace*{.7pt}を$Q$と\hspace*{.7pt}す% \hspace*{.7pt}る。ま\hspace*{.7pt}た\hspace*{.7pt}点P$(x,\ \,y,\ \,z)と\hspace* {.8pt}正\hspace*{.8pt}の\hspace*{.8pt}実\hspace*{.8pt}数tに\hspace*{.8pt}対 \\ [1.5mm]\qquad し,\ \ \makebox[1zw][c]{6}点(x\makebox[14pt][c]{+}t,\hspace* {7pt}y,\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x\makebox[14pt][c]{$-$}t,\hspace*{7pt} y,\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x,\hspace*{7pt}y\makebox[14pt][c]{+}t, \hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x,\hspace*{7pt}y\makebox[14pt][c]{$-$}t, \hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt}, \\[1.5mm]\qquad (x,\ \,y,\ \,z+t),\hspace*{7pt} (x,\ \,y,\ \,z-t)を頂点する正八面体を\,\alpha_t^{}(\mbox{P}),\ \,その外部の領域 を \\[1.5mm]\qquad \beta_t^{}(\mbox{P})で表す。ただし,立方体および正八面体は 内部の領域も含むものとする。\\[1.5mm]\qquad このとき以下の各問いに答えよ。\\ [8mm]\qquad(\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \,0\,\mbox{\Large$<$}\,t\leqq 1\ の \hspace*{.3pt}と\hspace*{.3pt}き\hspace*{-1pt},\ \ Q\cap\beta_t($O$)\cap \beta_t($D$)\cap\beta_t($E$)\cap\beta_t($F$)の\hspace*{.5pt}体\hspace*{.5pt}積 ,す\hspace*{.3pt}な\hspace*{.3pt}わ\hspace*{.3pt}ち\\[1.5mm]\hspace*{3zw}\, 5個の領域Q\hspace*{1pt},\ \beta_t($O$)\hspace*{1pt},\ \beta_t($D$)\hspace*{1pt} ,\ \beta_t($E$)\hspace*{1pt},\ \beta_t($F)の共通部分の体積を$tで表せ。\\[8mm] \qquad(\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,Q\cap\alpha_1($O$)\cap\beta_1($A$)\cap \beta_1($B$)\cap\beta_1($C$)の体積を求めよ。\\[8mm] \qquad(\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ \,0\,\mbox{\Large$<$}\,t\leqq 1のとき\hspace* {-1pt},\\[1.5mm] \hspace*{4.8zw} Q\cap\beta_t($O$)\cap\beta_t($A$)\cap\beta_t($B$)\cap\beta_t ($C$)\cap\beta_t($D$)\cap\beta_t($E$)\cap\beta_t($F$)\cap\beta_t($G$) \\ [1.5mm]\hspace*{3zw}の体積をtで表せ。$ \\[8mm] \hfill\mbox{\footnotesize\paalen{注}\ \ 5行目の\!\!「頂点する」\!\!は 原文通りであるが,\hspace*{-5pt}「頂点とする」\!\!が正しいと思われる。} \newpage\hfill 医学部保健衛生学科\Ten 歯学部 \\[5mm]% \Nbr{2}\ \ 座\hspace*{.5pt}標\hspace*{.5pt}空\hspace*{.5pt}間\hspace*{.5pt}に% \hspace*{.5pt}お\hspace*{.5pt}い\hspace*{.5pt}て,\makebox[1zw][c]{8}点O% \hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,0\,,\ \,0\,)\hspace*{1pt},\ \ A\hspace*{1pt}(\,1\,,% \ \,0\,,\ \,0\,)\hspace*{1pt},\ \ B\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,1\,,\ \,0\,)\hspace* {1pt},\ \ C\hspace*{1pt}(\,0\,,\\[1.2mm]\qquad\,0\,,\ \,1\,)\hspace*{1pt},\ \ % D\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,1\,,\ \,1\,)\hspace*{1pt},\ \ E\hspace*{1pt}(\,1\,,% \ \,0\,,\ \,1\,)\hspace*{1pt},\ \ F\hspace*{1pt}(\,1\,,\ \,1\,,\ \,0\,)\hspace* {1pt},\ \ G\hspace*{1pt}(\,1\,,\ \,1\,,\ \,1\,)をとり,この \\ [1.5mm]\qquad\,8点\hspace*{.7pt}を\hspace*{.7pt}頂\hspace*{.7pt}点\hspace* {.7pt}と\hspace*{.7pt}す\hspace*{.7pt}る\hspace*{.7pt}立\hspace*{.7pt}方% \hspace*{.7pt}体\hspace*{.7pt}を$Q$と\hspace*{.7pt}す\hspace*{.7pt}る。 ま\hspace*{.7pt}た\hspace*{.7pt}点P$(x,\ \,y,\ \,z)と\hspace*{.8pt}正\hspace* {.8pt}の\hspace*{.8pt}実\hspace*{.8pt}数tに\hspace*{.8pt}対 \\ [1.5mm]\qquad し,\ \ \makebox[1zw][c]{6}点(x\makebox[14pt][c]{+}t,\hspace* {7pt}y,\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x\makebox[14pt][c]{$-$}t,\hspace*{7pt} y,\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x,\hspace*{7pt}y\makebox[14pt][c]{+}t, \hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x,\hspace*{7pt}y\makebox[14pt][c]{$-$}t, \hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt}, \\[1.5mm]\qquad (x,\ \,y,\ \,z+t),\hspace*{7pt} (x,\ \,y,\ \,z-t)を頂点する正八面体を\,\alpha_t^{}(\mbox{P}),\ \,その外部の領域 を \\[1.5mm]\qquad \beta_t^{}(\mbox{P})で表す。ただし,立方体および正八面体は 内部の領域も含むものとする。\\[1.5mm]\qquad このとき以下の各問いに答えよ。\\ [8mm]\qquad(\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \ 0\,\mbox{\Large$<$}\,t\leqq 1\ のとき \hspace*{-1pt},\ \,Qと\,\alpha_t(\mbox{O})\hspace*{1pt}の共通部分Q\cap \alpha_t(\mbox{O})\hspace*{1pt}の体積をtで表せ。\\[8mm] \qquad(\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,Q\cap\beta_1($O$)\cap\beta_1($D$)\cap\beta_1 ($E$)\cap\beta_1($F$)の体積を求めよ。\\[8mm] \qquad(\makebox[1.5mm][c]{3})\hspace*{8pt}\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\makebox[13pt][c]{2}}\hspace*{1pt}\mbox{\Large$<$}\,t\leqq 1のとき\hspace* {-1pt},\ \ Q\cap\alpha_t($O$)\cap\alpha_t($A$)の体積をtで表せ。\\[8mm] \qquad(\makebox[1.5mm][c]{4})\ \ \,tが0\,\mbox{\Large$<$}\,t\leqq 1の範囲で 変化するとき\hspace*{-1pt},\ \ Q\cap\alpha_t($O$)\cap\beta_t($A$)\cap\beta_t ($B$)\cap\beta_t($C$) \\[1.5mm]\hspace*{3zw} の体積が最大となるtの値を求めよ。 $ \\[8mm]\hfill\mbox{\footnotesize\paalen{注}\ \ 5行目の\!\!「頂点する」\!\!は 原文通りであるが,\hspace*{-5pt}「頂点とする」\!\!が正しいと思われる。} \end{document}