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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
東京医科歯科大学 |
学科・方式 |
前期 |
年度 |
2010年度 |
問No |
問2 |
学部 |
医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
|
カテゴリ |
図形と計量 ・ 微分法と積分法
|
状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
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\def\Ten{\begin{picture}(7.5, 8) \put(4, 3.5){\circle*{2}} \end{picture}}
\def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\fboxsep=1.5mm\framebox[7mm][c]
{\textsf{\Large#1}}} }
\def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c]
{\raisebox{.7pt}{)}}}
\begin{document}
\hfill 医学部医学科 \\[5mm]\Nbr{2}\ \ 座\hspace*{.5pt}標\hspace*
{.5pt}空\hspace*{.5pt}間\hspace*{.5pt}に\hspace*{.5pt}お\hspace*{.5pt}い%
\hspace*{.5pt}て,\makebox[1zw][c]{8}点O\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,0\,,\ \,0\,)%
\hspace*{1pt},\ \ A\hspace*{1pt}(\,1\,,\ \,0\,,\ \,0\,)\hspace*{1pt},\ \ %
B\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,1\,,\ \,0\,)\hspace*{1pt},\ \ C\hspace*{1pt}(\,0\,,\\
[1.2mm]\qquad\,0\,,\ \,1\,)\hspace*{1pt},\ \ D\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,1\,,\ \,%
1\,)\hspace*{1pt},\ \ E\hspace*{1pt}(\,1\,,\ \,0\,,\ \,1\,)\hspace*{1pt},\ \ %
F\hspace*{1pt}(\,1\,,\ \,1\,,\ \,0\,)\hspace*{1pt},\ \ G\hspace*{1pt}(\,1\,,%
\ \,1\,,\ \,1\,)をとり,この\\[1.5mm]\qquad\,8点\hspace*{.7pt}を\hspace*{.7pt}%
頂\hspace*{.7pt}点\hspace*{.7pt}と\hspace*{.7pt}す\hspace*{.7pt}る\hspace*
{.7pt}立\hspace*{.7pt}方\hspace*{.7pt}体\hspace*{.7pt}を$Q$と\hspace*{.7pt}す%
\hspace*{.7pt}る。ま\hspace*{.7pt}た\hspace*{.7pt}点P$(x,\ \,y,\ \,z)と\hspace*
{.8pt}正\hspace*{.8pt}の\hspace*{.8pt}実\hspace*{.8pt}数tに\hspace*{.8pt}対 \\
[1.5mm]\qquad し,\ \ \makebox[1zw][c]{6}点(x\makebox[14pt][c]{+}t,\hspace*
{7pt}y,\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x\makebox[14pt][c]{$-$}t,\hspace*{7pt}
y,\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x,\hspace*{7pt}y\makebox[14pt][c]{+}t,
\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x,\hspace*{7pt}y\makebox[14pt][c]{$-$}t,
\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt}, \\[1.5mm]\qquad (x,\ \,y,\ \,z+t),\hspace*{7pt}
(x,\ \,y,\ \,z-t)を頂点する正八面体を\,\alpha_t^{}(\mbox{P}),\ \,その外部の領域
を \\[1.5mm]\qquad \beta_t^{}(\mbox{P})で表す。ただし,立方体および正八面体は
内部の領域も含むものとする。\\[1.5mm]\qquad このとき以下の各問いに答えよ。\\
[8mm]\qquad(\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \,0\,\mbox{\Large$<$}\,t\leqq 1\ の
\hspace*{.3pt}と\hspace*{.3pt}き\hspace*{-1pt},\ \ Q\cap\beta_t($O$)\cap
\beta_t($D$)\cap\beta_t($E$)\cap\beta_t($F$)の\hspace*{.5pt}体\hspace*{.5pt}積
,す\hspace*{.3pt}な\hspace*{.3pt}わ\hspace*{.3pt}ち\\[1.5mm]\hspace*{3zw}\,
5個の領域Q\hspace*{1pt},\ \beta_t($O$)\hspace*{1pt},\ \beta_t($D$)\hspace*{1pt}
,\ \beta_t($E$)\hspace*{1pt},\ \beta_t($F)の共通部分の体積を$tで表せ。\\[8mm]
\qquad(\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,Q\cap\alpha_1($O$)\cap\beta_1($A$)\cap
\beta_1($B$)\cap\beta_1($C$)の体積を求めよ。\\[8mm]
\qquad(\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ \,0\,\mbox{\Large$<$}\,t\leqq 1のとき\hspace*
{-1pt},\\[1.5mm]
\hspace*{4.8zw} Q\cap\beta_t($O$)\cap\beta_t($A$)\cap\beta_t($B$)\cap\beta_t
($C$)\cap\beta_t($D$)\cap\beta_t($E$)\cap\beta_t($F$)\cap\beta_t($G$) \\
[1.5mm]\hspace*{3zw}の体積をtで表せ。$ \\[8mm]
\hfill\mbox{\footnotesize\paalen{注}\ \ 5行目の\!\!「頂点する」\!\!は
原文通りであるが,\hspace*{-5pt}「頂点とする」\!\!が正しいと思われる。}
\newpage\hfill 医学部保健衛生学科\Ten 歯学部 \\[5mm]%
\Nbr{2}\ \ 座\hspace*{.5pt}標\hspace*{.5pt}空\hspace*{.5pt}間\hspace*{.5pt}に%
\hspace*{.5pt}お\hspace*{.5pt}い\hspace*{.5pt}て,\makebox[1zw][c]{8}点O%
\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,0\,,\ \,0\,)\hspace*{1pt},\ \ A\hspace*{1pt}(\,1\,,%
\ \,0\,,\ \,0\,)\hspace*{1pt},\ \ B\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,1\,,\ \,0\,)\hspace*
{1pt},\ \ C\hspace*{1pt}(\,0\,,\\[1.2mm]\qquad\,0\,,\ \,1\,)\hspace*{1pt},\ \ %
D\hspace*{1pt}(\,0\,,\ \,1\,,\ \,1\,)\hspace*{1pt},\ \ E\hspace*{1pt}(\,1\,,%
\ \,0\,,\ \,1\,)\hspace*{1pt},\ \ F\hspace*{1pt}(\,1\,,\ \,1\,,\ \,0\,)\hspace*
{1pt},\ \ G\hspace*{1pt}(\,1\,,\ \,1\,,\ \,1\,)をとり,この \\
[1.5mm]\qquad\,8点\hspace*{.7pt}を\hspace*{.7pt}頂\hspace*{.7pt}点\hspace*
{.7pt}と\hspace*{.7pt}す\hspace*{.7pt}る\hspace*{.7pt}立\hspace*{.7pt}方%
\hspace*{.7pt}体\hspace*{.7pt}を$Q$と\hspace*{.7pt}す\hspace*{.7pt}る。
ま\hspace*{.7pt}た\hspace*{.7pt}点P$(x,\ \,y,\ \,z)と\hspace*{.8pt}正\hspace*
{.8pt}の\hspace*{.8pt}実\hspace*{.8pt}数tに\hspace*{.8pt}対 \\
[1.5mm]\qquad し,\ \ \makebox[1zw][c]{6}点(x\makebox[14pt][c]{+}t,\hspace*
{7pt}y,\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x\makebox[14pt][c]{$-$}t,\hspace*{7pt}
y,\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x,\hspace*{7pt}y\makebox[14pt][c]{+}t,
\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt},\ \ (x,\hspace*{7pt}y\makebox[14pt][c]{$-$}t,
\hspace*{7pt}z)\hspace*{1pt}, \\[1.5mm]\qquad (x,\ \,y,\ \,z+t),\hspace*{7pt}
(x,\ \,y,\ \,z-t)を頂点する正八面体を\,\alpha_t^{}(\mbox{P}),\ \,その外部の領域
を \\[1.5mm]\qquad \beta_t^{}(\mbox{P})で表す。ただし,立方体および正八面体は
内部の領域も含むものとする。\\[1.5mm]\qquad このとき以下の各問いに答えよ。\\
[8mm]\qquad(\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \ 0\,\mbox{\Large$<$}\,t\leqq 1\ のとき
\hspace*{-1pt},\ \,Qと\,\alpha_t(\mbox{O})\hspace*{1pt}の共通部分Q\cap
\alpha_t(\mbox{O})\hspace*{1pt}の体積をtで表せ。\\[8mm]
\qquad(\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,Q\cap\beta_1($O$)\cap\beta_1($D$)\cap\beta_1
($E$)\cap\beta_1($F$)の体積を求めよ。\\[8mm]
\qquad(\makebox[1.5mm][c]{3})\hspace*{8pt}\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}
{\makebox[13pt][c]{2}}\hspace*{1pt}\mbox{\Large$<$}\,t\leqq 1のとき\hspace*
{-1pt},\ \ Q\cap\alpha_t($O$)\cap\alpha_t($A$)の体積をtで表せ。\\[8mm]
\qquad(\makebox[1.5mm][c]{4})\ \ \,tが0\,\mbox{\Large$<$}\,t\leqq 1の範囲で
変化するとき\hspace*{-1pt},\ \ Q\cap\alpha_t($O$)\cap\beta_t($A$)\cap\beta_t
($B$)\cap\beta_t($C$) \\[1.5mm]\hspace*{3zw} の体積が最大となるtの値を求めよ。
$ \\[8mm]\hfill\mbox{\footnotesize\paalen{注}\ \ 5行目の\!\!「頂点する」\!\!は
原文通りであるが,\hspace*{-5pt}「頂点とする」\!\!が正しいと思われる。}
\end{document}