三重大学 前期 2008年度 問7

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解答作成者: 池尻 薫

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入試情報

大学名 三重大学
学科・方式 前期
年度 2008年度
問No 問7
学部 人文学部 ・ 教育学部 ・ 医学部 ・ 工学部 ・ 生物資源学部
カテゴリ 複素数と方程式 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\textgt{\Large 工学部・第3問}\\ \textgt{\Large 生物資源学部・第4問‐1}\\ 3次方程式$x^3-5x^2+6x-2=0$の最小解を$\alpha$,最大解を$\beta$とするとき,以下の問いに答えよ。 \begin{enumerate} \item[(1) ] $\alpha ,\beta$の値を求めよ。 \item[(2) ] 数列$\left\{ p_n\right\} ,\left\{ q_n\right\} $は$\displaystyle p_1=0,q_1=\frac{1}{2}(\alpha -\beta ) $を満たし,すべての自然数$n$について \begin{center} $\displaystyle p_{n+1}=2p_n+q_n,  q_{n+1}=-\frac{1}{2}p_n$ \end{center} を満たすとする。このときすべての自然数$n$に対し次の等式が成立することを示せ。 \begin{center} $\displaystyle p_n=\left( \frac{\alpha }{2}\right) ^{n-1}-\left( \frac{\beta }{2}\right) ^{n-1},  q_n=-\frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}\right) ^{n-2}+\frac{1}{2}\left( \frac{\beta }{2}\right) ^{n-2}$ \end{center} \item[(3) ] (2)の数列$\left\{ p_n\right\} ,\left\{ q_n\right\} $について,すべての自然数$n$に対し$p_n$も$q_n$も$\sqrt{2}$の有理数倍になることを示せ。 \end{enumerate}