すうじあむ

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\textgt{\Large 工学部・第3問}\\ \textgt{\Large 生物資源学部・第4問‐1}\\ 3次方程式$x^3-5x^2+6x-2=0$の最小解を$\alpha$，最大解を$\beta$とするとき，以下の問いに答えよ。 \begin{enumerate} \item[(1) ]　$\alpha ,\beta$の値を求めよ。 \item[(2) ]　数列$\left\{ p_n\right\} ,\left\{ q_n\right\} $は$\displaystyle p_1=0,q_1=\frac{1}{2}(\alpha -\beta ) $を満たし，すべての自然数$n$について \begin{center} $\displaystyle p_{n+1}=2p_n+q_n, 　q_{n+1}=-\frac{1}{2}p_n$ \end{center} を満たすとする。このときすべての自然数$n$に対し次の等式が成立することを示せ。 \begin{center} $\displaystyle p_n=\left( \frac{\alpha }{2}\right) ^{n-1}-\left( \frac{\beta }{2}\right) ^{n-1}, 　q_n=-\frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}\right) ^{n-2}+\frac{1}{2}\left( \frac{\beta }{2}\right) ^{n-2}$ \end{center} \item[(3) ]　(2)の数列$\left\{ p_n\right\} ,\left\{ q_n\right\} $について，すべての自然数$n$に対し$p_n$も$q_n$も$\sqrt{2}$の有理数倍になることを示せ。 \end{enumerate}