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解答作成者: 池尻 薫
入試情報
| 大学名 |
三重大学 |
| 学科・方式 |
前期 |
| 年度 |
2008年度 |
| 問No |
問2 |
| 学部 |
人文学部 ・ 教育学部 ・ 医学部 ・ 工学部 ・ 生物資源学部
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| カテゴリ |
複素数と方程式 ・ 数列
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| 状態 |
   |
\textgt{\Large 医学部医学科・第2問}\\
3次方程式$x^3-5x^2+6x-2=0$の最小解を$\alpha$，最大解を$\beta$とするとき，以下の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item[(1) ] $\alpha ,\beta$の値を求めよ。
\item[(2) ] 数列$\left\{ p_n\right\} ,\left\{ q_n\right\} $は$\displaystyle p_1=0,q_1=\frac{1}{2}(\alpha -\beta ) $を満たし，すべての自然数$n$について
\begin{center}
$\displaystyle p_{n+1}=2p_n+q_n, q_{n+1}=-\frac{1}{2}p_n$
\end{center}
を満たすとする。このときすべての自然数$n$に対し次の等式が成立することを示せ。
\begin{center}
$\displaystyle p_n=\left( \frac{\alpha }{2}\right) ^{n-1}-\left( \frac{\beta }{2}\right) ^{n-1}, q_n=-\frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}\right) ^{n-2}+\frac{1}{2}\left( \frac{\beta }{2}\right) ^{n-2}$
\end{center}
\item[(3) ] すべての自然数$n$に対し次の数$r_n$は有理数であることを証明せよ。
\begin{center}
$\displaystyle r_n=\sum_{k=0}^n \left( \frac{\alpha }{2}\right) ^{n-k}\left( \frac{\beta }{2}\right) ^k$
\end{center}
\end{enumerate}
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