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入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
前期文系 |
年度 |
2010年度 |
問No |
問5 |
学部 |
総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
積分法の応用
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
座標空間内で,O$(0,\ 0,\ 0)$,A$(1,\ 0,\ 0)$,B$(1,\ 1,\ 0)$,C$(0,\ 1,\
0)$,D$(0,\ 0,\ 1)$,E$(1,\ 0,\ 1)$,F$(1,\ 1,\ 1)$,G$(0,\ 1,\ 1)$を頂
点にもつ立方体を考える.
\begin{toi}
\item 頂点Aから対角線OFに下ろした垂線の長さを求めよ.
\item この立方体を対角線OFを軸に回転させて得られる回転体の体積を求めよ.
\end{toi}
\end{FRAME}
%kai
\begin{minipage}{\linewidth-20zw}
\ajKakko{1}\
AからOFに下した垂線の足をHとし,$\kaku{AOF}=\theta$とおく
と
\begin{align*}
&\hen{OH}=\hen{OA}\cos\theta\\
&=\hen{OA}\cdot\hen{OF}\cos\theta\cdot\Frac{1}{\hen{OF}}\\
&=\Frac{1}{\hen{OF}}(\VEC{OA}\cdot\VEC{OF})\\
&=\Frac{1}{\sqrt{3}}\sanxiti{1}{0}{0}\cdot\sanxiti{1}{1}{1}=\Frac{1}{\sqrt{3}}
\end{align*}
ゆえに直角\sankaku{OAH}において,
\begin{align*}
&\hen{AH}=\sqrt{\hen{OA}^2-\hen{OH}^2}\\
&=\sqrt{\Frac{2}{3}}=\ans{\Frac{\sqrt{6}}{3}}
\end{align*}
\ajKakko{2}\
線分OF上に点Xを
$$\VEC{OX}=t\Bigl(\Frac{1}{\sqrt{3}},\ \Frac{1}{\sqrt{3}},\
\Frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)$$
となるようにとると,$0\leqq t\leqq\sqrt{3}$で,$\abs{\VEC{OX}}=t$.Xを通りOFに垂直な平面
\end{minipage}\quad
\parbox{20zw}{\input{10l5fig1.tex}}
$\alpha: x+y+z=\sqrt{3}t$による立方体$C$の切り口$C_t$を
考える.
$C_t$をOFまわりに回転してできる円板が回転体の切り口$D_t$である.その面積を$S$とおく.
また,$\alpha$と$x$軸,$y$軸,$z$軸との交点をそれぞれP,Q,Rとすると,
P$(\sqrt{3}t,\ 0,\ 0)$である.
\quad また上と同様にして,BからOFに下した垂線の足をKとすると,
$\hen{OK}=\Frac{2}{\sqrt{3}}$である.
\begin{center}
\input{10l5fig2.tex}
\end{center}
\ajKakkoroman{1}\ $0\leqq t\leqq\Frac{1}{\sqrt{3}}$のとき,Xは線分OH上
にある.このとき$C_t$は正三角形PQRで,Xはその中心であり,$D_t$は半
径XPの円板である.
\begin{align*}
S&=\pi\hen{XP}^2=\pi\Bigl\{\Bigl(\sqrt{3}-\Frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+\Frac{1}{3}+\Frac{1}{3}\Bigr\}t^2\\
&=2\pi t^2
\end{align*}
\ajKakkoroman{2} $\Frac{1}{\sqrt{3}}\leqq t\leqq\Frac{2}{\sqrt{3}}$のと
き,$C_t$は六角形である.辺ABと$\alpha$の交点をLとおくと,L$(1,\
\sqrt{3}t-1,\ 0)$であり,$D_t$は半径XLの円板である.
\begin{align*}
&
\hen{XL}^2=\Bigl(1-\Frac{t}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+\Bigl(\sqrt{3}t-1-\Frac{t}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+\Frac{t^2}{3}\\
&=2(t^2-\sqrt{3}t+1)
\end{align*}
したがって,$S=2\pi(t^2-\sqrt{3}t+1)$\\
\ajKakkoroman{3}\ $\Frac{2}{\sqrt{3}}\leqq t\leqq\sqrt{3}$のとき,切り口は
\ajKakko{1}と同様になる.
以上から,求める体積は
\begin{align*}
&\int_0^{\sqrt{3}}S\,dt=2\int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}S\,dt+\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}S\,dt\\
&=2\int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}2\pi t^2\,dt
+\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}2\pi(t^2-\sqrt{3}t+1)\,dt\\
&=4\pi\Bigl[\Frac{1}{3}t^3\Bigr]_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}+2\pi\Bigl[\Frac{1}{3}t^3-\Frac{\sqrt{3}}{2}t^2+t\Bigr]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}\\
&=\Frac{4\sqrt{3}}{27}\pi+\Frac{5\sqrt{3}}{27}\pi=\ans{\Frac{\pi}{\sqrt{3}}}
\end{align*}
\end{document}