京都大学 前期文系 2010年度 問4

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期文系
年度 2010年度
問No 問4
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 図形と計量 ・ 三角関数
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 点Oを中心とする正十角形において,A,Bを隣接する2つの頂点とする.線分OB上 に$\hen{OP}^2=\hen{OB}\cdot\hen{PB}$を満たす点Pをとるとき, $\hen{OP}=\hen{AB}$が成立することを示せ. \end{FRAME} %kai \begin{center} \input{10l4fig1.tex} \end{center} $\hen{OA}=\hen{OB}=1$としてよい.このとき $\hen{OP}=x$ ($0\leqq x\leqq1$)とおくと,$\hen{PB}=1-x$だから, $\hen{OP}^2=\hen{OB}\cdot\hen{PB}$により, \begin{gather*} x^2=1-x\yuen x^2+x-1=0\\ \yue \hen{OP}=x=\Frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{gather*} $\kaku{AOB}=\Frac{2\pi}{10}=\Frac{\pi}{5}$だから, \[ \hen{AB}=2\sin\Frac{\pi}{10} \] そこで$\theta=\Frac{\pi}{10}$とおくと,$5\theta=\Frac{\pi}{2}$であり, \begin{gather*} 3\theta=\Frac{\pi}{2}-2\theta\yuen \sin3\theta=\sin\Bigl(\Frac{\pi}{2}-2\theta\Bigr)\\ \yue \sin3\theta=\cos2\theta\yuen 3\sin\theta-4\sin^3\theta=1-2\sin^2\theta \end{gather*} $\sin\theta=t$とおくと, \[ 4t^3-2t^2-3t+1=0 \yuen (t-1)(4t^2+2t-1)=0 \] $0<t<1$だから \[ t=\sin\theta=\Frac{\sqrt{5}-1}{4} \] したがって \[ \hen{AB}=2\sin\theta=\Frac{\sqrt{5}-1}{2}=x=\hen{OP} \] \owari %\betu %\chu \end{document}