京都大学 前期文系 2010年度 問3

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期文系
年度 2010年度
問No 問3
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 確率
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 1から5までの自然数を1列に並べる.どの並べかたも同様の確からしさで起こる ものとする.このとき1番目と2番目と3番目の数の和と,3番目と4番目と5番目の 数の和が等しくなる確率を求めよ.ただし,各並べかたにおいて,それぞれの数 字は重複なく1度ずつ用いるものとする. \end{FRAME} %kai \quad 1から5を1列に並べたもの \[ a_1\ a_2\ a_3\ a_4\ a_5 \] と表す.これらは1から5の順列だから,並べかたは全部で$5!$通りある. このうち,$a_1+a_2+a_3=a_3+a_4+a_5$すなわち \[ a_1+a_2=a_4+a_5 \] をみたすものを考える.このとき \[ (a_1+a_2)+a_3+(a_4+a_5)=15 \] だから,$a_3$は奇数であり,$a_3=1$,3,5である. \ajKakkoroman{1}\ $a_3=1$のとき,$a_1+a_2=a_4+a_5=7$だから, \[ \{a_1,\ a_2\}=\{2,\ 5\}\ten\{a_4,\ a_5\}=\{3,\ 4\} \] または \[ \{a_1,\ a_2\}=\{3,\ 4\}\ten\{a_4,\ a_5\}=\{2,\ 5\} \] \ajKakkoroman{2}\ $a_3=3$のとき,$a_1+a_2=a_4+a_5=6$だから, \[ \{a_1,\ a_2\}=\{1,\ 5\}\ten\{a_4,\ a_5\}=\{2,\ 4\} \] または \[ \{a_1,\ a_2\}=\{2,\ 4\}\ten\{a_4,\ a_5\}=\{1,\ 5\} \] \ajKakkoroman{3}\ $a_3=5$のとき,$a_1+a_2=a_4+a_5=5$だから, \[ \{a_1,\ a_2\}=\{1,\ 4\}\ten\{a_4,\ a_5\}=\{2,\ 3\} \] または \[ \{a_1,\ a_2\}=\{2,\ 3\}\ten\{a_4,\ a_5\}=\{1,\ 4\} \] 以上いずれの場合も$a_1 a_2a_3a_4a_5$はそれぞれ $2!\cdot2!\cdot2=8$通りずつあるので,全部で$8\cdot3=24$通り. \quad したがって,求める確率は \[ \Frac{24}{5!}=\ans{\Frac{1}{5}} \] %\betu %\chu \end{document}