京都大学 前期文系 2010年度 問1

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期文系
年度 2010年度
問No 問1
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 平面幾何 ・ 微分法と積分法
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 次の各問に答えよ. \begin{toi} \item 座標平面上で,点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によっ て囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$a$が$0\leqq a\leqq6$の範囲を変化す るとき,$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ. \item \sankaku{ABC}において$\hen{AB}=2$,$\hen{AC}=1$とする. $\kaku{BAC}$の二等分線と辺BCの交点をDとする.$\hen{AD}=\hen{BD}$となるとき, \sankaku{ABC}の面積を求めよ. \end{toi} \end{FRAME} %kai \ajKakko{1} \begin{center} \input{10l1fig1.tex} \end{center} 点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線の方程式は \[ y=a(x-1)+2 \] であり,これと放物線$y=x^2$との交点の$x$座標は \begin{gather} x^2=a(x-1)+2\notag\\ \yue x^2-ax+a-2=0\Tag{\maru{1}} \end{gather} の実数解である.\maru{1}はつねに異なる2実解をもち, それらを$\alpha$,$\beta$ ($\alpha<\beta$)とおくと, \begin{align*} S(a)&=\int_{\alpha}^{\beta}\{(ax-a+2)-x^2\}\,dx\\ &=-\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\ &=\Frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \end{align*} ここで,\maru{1}の判別式を$D$とおくと,解の公式により \[ \beta-\alpha=\Frac{a+\sqrt{D}}{2}-\Frac{a-\sqrt{D}}{2}=\sqrt{D} \] \begin{align*} D&=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8\\ &=(a-2)^2+4 \end{align*} したがって,$0\leqq a\leqq6$のとき $S(a)=\Frac{1}{6}\sqrt{D}^3$が最小値をとるような$a$の値は $a=\ans{2}$である. \medskip \ajKakko{2}\ \begin{center} \input{10l1fig3.tex} \end{center} ABの中点をEとする.$\hen{AD}=\hen{BD}$だから$\kaku{AED}=\baai{90}$. \sankaku{AED}と\sankaku{ACD}において,ADは\kaku{A}の 二等分線だから$\kaku{EAD}=\kaku{CAD}$, $\hen{AE}=\Frac{1}{2}\hen{AB}=1=\hen{AC}$および\hen{AD}が共通だから, $\sankaku{AED}\equiv\sankaku{ACD}$.したがって, $\kaku{ACD}=\kaku{AED}=\baai{90}$となり, $\hen{BC}=\sqrt{\hen{AB}^2-\hen{AC}^2}=\sqrt{3}$.ゆえに \[ \sankaku{ABC}=\Frac{1}{2}\hen{BC}\cdot\hen{AC}=\ans{\Frac{\sqrt{3}}{2}} \] %\betu %\chu \end{document}