この問題には解答がありません。作成中ですのでしばらくお待ちください。
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
前期文系 |
年度 |
2010年度 |
問No |
問1 |
学部 |
総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
平面幾何 ・ 微分法と積分法
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
次の各問に答えよ.
\begin{toi}
\item 座標平面上で,点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によっ
て囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$a$が$0\leqq a\leqq6$の範囲を変化す
るとき,$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ.
\item \sankaku{ABC}において$\hen{AB}=2$,$\hen{AC}=1$とする.
$\kaku{BAC}$の二等分線と辺BCの交点をDとする.$\hen{AD}=\hen{BD}$となるとき,
\sankaku{ABC}の面積を求めよ.
\end{toi}
\end{FRAME}
%kai
\ajKakko{1}
\begin{center}
\input{10l1fig1.tex}
\end{center}
点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線の方程式は
\[
y=a(x-1)+2
\]
であり,これと放物線$y=x^2$との交点の$x$座標は
\begin{gather}
x^2=a(x-1)+2\notag\\
\yue x^2-ax+a-2=0\Tag{\maru{1}}
\end{gather}
の実数解である.\maru{1}はつねに異なる2実解をもち,
それらを$\alpha$,$\beta$ ($\alpha<\beta$)とおくと,
\begin{align*}
S(a)&=\int_{\alpha}^{\beta}\{(ax-a+2)-x^2\}\,dx\\
&=-\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\
&=\Frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{align*}
ここで,\maru{1}の判別式を$D$とおくと,解の公式により
\[
\beta-\alpha=\Frac{a+\sqrt{D}}{2}-\Frac{a-\sqrt{D}}{2}=\sqrt{D}
\]
\begin{align*}
D&=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8\\
&=(a-2)^2+4
\end{align*}
したがって,$0\leqq a\leqq6$のとき
$S(a)=\Frac{1}{6}\sqrt{D}^3$が最小値をとるような$a$の値は
$a=\ans{2}$である.
\medskip
\ajKakko{2}\
\begin{center}
\input{10l1fig3.tex}
\end{center}
ABの中点をEとする.$\hen{AD}=\hen{BD}$だから$\kaku{AED}=\baai{90}$.
\sankaku{AED}と\sankaku{ACD}において,ADは\kaku{A}の
二等分線だから$\kaku{EAD}=\kaku{CAD}$,
$\hen{AE}=\Frac{1}{2}\hen{AB}=1=\hen{AC}$および\hen{AD}が共通だから,
$\sankaku{AED}\equiv\sankaku{ACD}$.したがって,
$\kaku{ACD}=\kaku{AED}=\baai{90}$となり,
$\hen{BC}=\sqrt{\hen{AB}^2-\hen{AC}^2}=\sqrt{3}$.ゆえに
\[
\sankaku{ABC}=\Frac{1}{2}\hen{BC}\cdot\hen{AC}=\ans{\Frac{\sqrt{3}}{2}}
\]
%\betu
%\chu
\end{document}