京都大学 理系甲 2010年度 問6

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 理系甲
年度 2010年度
問No 問6
学部 医 ・ 教育(理)
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 座標空間内で,O$(0,\ 0,\ 0)$,A$(1,\ 0,\ 0)$,B$(1,\ 1,\ 0)$,C$(0,\ 1,\ 0)$,D$(0,\ 0,\ 1)$,E$(1,\ 0,\ 1)$,F$(1,\ 1,\ 1)$,G$(0,\ 1,\ 1)$を頂 点にもつ立方体を考える.この立方体を対角線OFを軸に回転させて得られる回転 体の体積を求めよ. \end{FRAME} %kai \begin{minipage}{\linewidth-20zw} \quad AからOFに下した垂線の足をHとし,$\kaku{AOF}=\theta$とおく と \begin{align*} &\hen{OH}=\hen{OA}\cos\theta\\ &=\hen{OA}\cdot\hen{OF}\cos\theta\cdot\Frac{1}{\hen{OF}}\\ &=\Frac{1}{\hen{OF}}(\VEC{OA}\cdot\VEC{OF})\\ &=\Frac{1}{\sqrt{3}}\sanxiti{1}{0}{0}\cdot\sanxiti{1}{1}{1}=\Frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*} \iffalse ゆえに直角\sankaku{OAH}において, \begin{align*} &\hen{AH}=\sqrt{\hen{OA}^2-\hen{OH}^2}\\ &=\sqrt{\Frac{2}{3}}=\ans{\Frac{\sqrt{6}}{3}} \end{align*} \fi 線分OF上に点Xを $$\VEC{OX}=t\Bigl(\Frac{1}{\sqrt{3}},\ \Frac{1}{\sqrt{3}},\ \Frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)$$ となるようにとると,$0\leqq t\leqq\sqrt{3}$で,$\abs{\VEC{OX}}=t$.Xを通りOFに垂直な平面 \end{minipage}\quad \parbox{20zw}{\input{10l5fig1.tex}} $\alpha: x+y+z=\sqrt{3}t$による立方体$C$の切り口$C_t$を 考える. $C_t$をOFまわりに回転してできる円板が回転体の切り口$D_t$である.その面積を$S$とおく. また,$\alpha$と$x$軸,$y$軸,$z$軸との交点をそれぞれP,Q,Rとすると, P$(\sqrt{3}t,\ 0,\ 0)$である. \quad また上と同様にして,BからOFに下した垂線の足をKとすると, $\hen{OK}=\Frac{2}{\sqrt{3}}$である. \begin{center} \input{10l5fig2.tex} \end{center} \ajKakkoroman{1}\ $0\leqq t\leqq\Frac{1}{\sqrt{3}}$のとき,Xは線分OH上 にある.このとき$C_t$は正三角形PQRで,Xはその中心であり,$D_t$は半 径XPの円板である. \begin{align*} S&=\pi\hen{XP}^2=\pi\Bigl\{\Bigl(\sqrt{3}-\Frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+\Frac{1}{3}+\Frac{1}{3}\Bigr\}t^2\\ &=2\pi t^2 \end{align*} \ajKakkoroman{2} $\Frac{1}{\sqrt{3}}\leqq t\leqq\Frac{2}{\sqrt{3}}$のと き,$C_t$は六角形である.辺ABと$\alpha$の交点をLとおくと,L$(1,\ \sqrt{3}t-1,\ 0)$であり,$D_t$は半径XLの円板である. \begin{align*} & \hen{XL}^2=\Bigl(1-\Frac{t}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+\Bigl(\sqrt{3}t-1-\Frac{t}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+\Frac{t^2}{3}\\ &=2(t^2-\sqrt{3}t+1) \end{align*} したがって,$S=2\pi(t^2-\sqrt{3}t+1)$\\ \ajKakkoroman{3}\ $\Frac{2}{\sqrt{3}}\leqq t\leqq\sqrt{3}$のとき,切り口は \ajKakko{1}と同様になる. 以上から,求める体積は \begin{align*} &\int_0^{\sqrt{3}}S\,dt=2\int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}S\,dt+\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}S\,dt\\ &=2\int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}2\pi t^2\,dt +\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}2\pi(t^2-\sqrt{3}t+1)\,dt\\ &=4\pi\Bigl[\Frac{1}{3}t^3\Bigr]_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}+2\pi\Bigl[\Frac{1}{3}t^3-\Frac{\sqrt{3}}{2}t^2+t\Bigr]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}\\ &=\Frac{4\sqrt{3}}{27}\pi+\Frac{5\sqrt{3}}{27}\pi=\ans{\Frac{\pi}{\sqrt{3}}} \end{align*} %\betu %\chu \end{document}