すうじあむ

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $n$個のボールを$2n$個の箱へ投げ入れる．各ボールはいずれかの箱に入るもの とし，どの箱に入る確率も等しいとする．どの箱にも1個以下のボールしか入っ ていない確率を$p_n$とする．このとき，極限値$\dlim_{n\to\infty}\Frac{\log p_n}{n}$を求めよ． \end{FRAME} %kai \[ \underbrace{\text{\kobako\ \kobako\ \kobako\ $\cdots\cdots$\ \kobako}}_{\text{$2n$個}} \] \quad $n$個のボールのそれぞれについて箱への投げ入れ方が$2n$通りずつあるので， ボールの投げ入れ方は全部で$(2n)^n$通りある．このうち，どの箱にも1個以下 のボールしか入っていないのは，$n$個の箱に1個だけボールが入るときで， $n$個の箱の選び方が$\comb{2n}{n}$通りあり， それらの箱へのボールの入れ方が$n!$通りだから， \begin{align*} p_n&=\Frac{\comb{2n}{n}\cdot n!}{(2n)^n}=\Frac{(2n)!}{n!\cdot (2n)^n}\\ &=\Frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}{2^nn^n}\\ &=\Bigl(1+\Frac{1}{n}\Bigr)\Bigl(1+\Frac{2}{n}\Bigr)\cdots\Bigl(1+\Frac{n}{n}\Bigr)\cdot2^{-n} \end{align*} したがって， \[ \log p_n=\sum_{k=1}^n\log\Bigl(1+\Frac{k}{n}\Bigr)-n\log2 \] となり， \begin{align*} &\Frac{\log p_n}{n}=\Frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\Bigl(1+\Frac{k}{n}\Bigr)-\log2\\ &\xrightarrow[n\to\infty]{}\int_0^1\log(1+x)\,dx-\log2\\ &=\int_1^2\log x\,dx-\log2=\Bigl[x\log x-x\Bigr]_1^2-\log2\\ &=2\log2-1-\log2=\log2-1= \text{\boldmath $\log\Frac{2}{e}$} \end{align*} %\betu %\chu \end{document}