この問題には解答がありません。作成中ですのでしばらくお待ちください。
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
理系乙 |
年度 |
2010年度 |
問No |
問6 |
学部 |
医 ・ 理 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理) ・ 経済(理)
|
カテゴリ |
確率 ・ 積分法の応用
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$n$個のボールを$2n$個の箱へ投げ入れる.各ボールはいずれかの箱に入るもの
とし,どの箱に入る確率も等しいとする.どの箱にも1個以下のボールしか入っ
ていない確率を$p_n$とする.このとき,極限値$\dlim_{n\to\infty}\Frac{\log
p_n}{n}$を求めよ.
\end{FRAME}
%kai
\[
\underbrace{\text{\kobako\ \kobako\ \kobako\ $\cdots\cdots$\ \kobako}}_{\text{$2n$個}}
\]
\quad $n$個のボールのそれぞれについて箱への投げ入れ方が$2n$通りずつあるので,
ボールの投げ入れ方は全部で$(2n)^n$通りある.このうち,どの箱にも1個以下
のボールしか入っていないのは,$n$個の箱に1個だけボールが入るときで,
$n$個の箱の選び方が$\comb{2n}{n}$通りあり,
それらの箱へのボールの入れ方が$n!$通りだから,
\begin{align*}
p_n&=\Frac{\comb{2n}{n}\cdot n!}{(2n)^n}=\Frac{(2n)!}{n!\cdot (2n)^n}\\
&=\Frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}{2^nn^n}\\
&=\Bigl(1+\Frac{1}{n}\Bigr)\Bigl(1+\Frac{2}{n}\Bigr)\cdots\Bigl(1+\Frac{n}{n}\Bigr)\cdot2^{-n}
\end{align*}
したがって,
\[
\log p_n=\sum_{k=1}^n\log\Bigl(1+\Frac{k}{n}\Bigr)-n\log2
\]
となり,
\begin{align*}
&\Frac{\log
p_n}{n}=\Frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\Bigl(1+\Frac{k}{n}\Bigr)-\log2\\
&\xrightarrow[n\to\infty]{}\int_0^1\log(1+x)\,dx-\log2\\
&=\int_1^2\log x\,dx-\log2=\Bigl[x\log x-x\Bigr]_1^2-\log2\\
&=2\log2-1-\log2=\log2-1=
\text{\boldmath $\log\Frac{2}{e}$}
\end{align*}
%\betu
%\chu
\end{document}