京都大学 理系乙 2010年度 問5

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 理系乙
年度 2010年度
問No 問5
学部 医 ・ 理 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理) ・ 経済(理)
カテゴリ 数と式
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。

\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad \quad 次の問に答えよ. \begin{toi} \item $n$を正の整数,$a=2^n$とする.$3^a-1$は$2^{n+2}$で割り切れるが $2^{n+3}$では割り切れないことを示せ. \item $m$を正の偶数とする.$3^m-1$が$2^m$で割り切れるならば$m=2$または $m=4$であることを示せ. \end{toi} \end{FRAME} %kai \ajKakko{1}\ $A_n=3^{2^n}-1$とおく.すべての正の整数$n$について \[ A_n=2^{n+2}\cdot\text{(奇数)} \] とかけることを$n$についての帰納法で示す. \ajRoman{1}.$A_1=3^2-1=8=2^3\cdot1$だから,$n=1$のとき成り立つ. \ajRoman{2}.$A_k=2^{k+2}b$ ($b$は奇数,$k$は1以上の整数)と表せると仮定する.このとき \begin{align*} A_{k+1}&=3^{2^{k+1}}-1=3^{2^k\cdot2}-1=(3^{2^k})^2-1\\ &=(3^{2^k}-1)(3^{2^k}+1)=A_k(A_k+2)\\ &=2^{k+2}b(2^{k+2}b+2)=2^{k+3}b(2^{k+1}b+1) \end{align*} ここで$k$は正の整数だから$b(2^{k+1}b+1)$は奇数であり,$n=k+1$のときも成 り立つ. \quad 以上から,$A_n$は$2^{n+2}$で割り切れるが,$2^{n+3}$では割り切れない.\\ \owari \ajKakko{2}\ $m$は正の偶数だから, \[ m=2^nm'\enskip\text{($n$は1以上の整数,$m'$は正の奇数)} \] と表せる.このとき,$M=3^m-1$について \begin{align*} M&=3^{{2^n}{m'}}-1=(3^{2^n})^{m'}-1\\ &=(3^{2^n}-1)\{(3^{2^n})^{m'-1}+(3^{2^n})^{m'-2}+\cdots+3^{2^n}+1\}\\ &=A_n\{(3^{2^n})^{m'-1}+(3^{2^n})^{m'-2}+\cdots+3^{2^n}+1\} \end{align*} ここで,\ajKakko{1}から$A_n=2^{n+2}b$ ($b$は奇数)と表せ,$n$は1以上の整 数だから$3^{2^n}$は奇数であり,$B=\{\cdots\}$は奇数が奇数$m'$項の和だから 奇数である.したがって, \[ M=2^{n+2}b\cdot B=2^{n+2}\cdot\text{(奇数)} \] となり,$M$は$2^{n+2}$で割り切れるが$2^{n+3}$では割り切れない. これと,仮定により$M$が$2^m$で割り切れることから \begin{equation} m\leqq n+2\Tag{\maru{1}} \end{equation} であり,$2^n\leqq 2^nm'=m$だから \begin{equation} 2^n\leqq n+2\Tag{\maru{2}} \end{equation} が成り立つ.ここで,$n\geqq3$のとき \begin{align*} 2^n&=(1+1)^n\\ &=\underbrace{\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\cdots+\comb{n}{n}}_{\text{$n+1$項}}=1+n+\cdots+1\\ &>1+n+1\qquad\qquad\text{($\because\quad n\geqq3$だから$\cdots$は正の項が1個以上)}\\ &=n+2 \end{align*} だから,$2^n>n+2$となる.したがって,\maru{2}から$n=1$または2 である. ・$n=1$のとき,$\maru{1}: 2m'\leqq3$だから$m'=1$となり,$m=2^nm'=2$ ・$n=2$のとき,$\maru{1}: 4m'\leqq4$だから$m'=1$となり,$m=2^nm'=4$ 以上から,$m=2$または$m=4$である.\\ \owari %\betu %\chu \end{document}