京都大学 理系乙 2010年度 問4

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 理系乙
年度 2010年度
問No 問4
学部 医 ・ 理 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理) ・ 経済(理)
カテゴリ 図形と計量 ・ 三角関数
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $1<a<2$とする.3辺の長さが$\sqrt{3}$,$a$,$b$である鋭角三角形の外接円の 半径が1であるとする.このとき$a$を用いて$b$を表せ. \end{FRAME} %kai \begin{minipage}{\linewidth-15zw} \quad 三角形の頂点をA,B,Cとし,$\hen{AB}=\sqrt{3}$,$\hen{BC}=a$, $\hen{CA}=b$とする.外接円の半径が1だから,正弦定理により \[ \Frac{a}{\sin A}=\Frac{b}{\sin B}=\Frac{\sqrt{3}}{\sin C}=2 \] これから$ \sin C=\Frac{\sqrt{3}}{2}$で,$C$は鋭角だから $C=\Frac{\pi}{3}$.また,$\sin A=\Frac{a}{2}$で,$A$は鋭角だから \end{minipage}\qquad \parbox{15zw}{\input{10otu4fig1.tex}} \[ \cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\Frac{a^2}{4}} \] BからACに下した垂線の足をHとすると,鋭角三角形だから \begin{align*} b&=\hen{CA}=\hen{CH}+\hen{HA}=a\cos C+\sqrt{3}\cos A\\ &=\Frac{a}{2}+\sqrt{3}\sqrt{1-\Frac{a^2}{4}} =\ans{\Frac{a}{2}+\Frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-a^2}} \end{align*} %\betu \chu $A+B+C=\pi$に注意すれば,加法定理により \begin{align*} b&=2\sin B=2\sin(\pi-A-C)=2\sin(A+C)\\ &=2\sin\Bigl(A+\Frac{\pi}{3}\Bigr)\\ &=2\sin A\cos\Frac{\pi}{3}+2\cos A\sin\Frac{\pi}{3} \end{align*} として,同様に求められる. \end{document}