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解答作成者: 安田 亨
入試情報
| 大学名 |
東京大学 |
| 学科・方式 |
文系 |
| 年度 |
2007年度 |
| 問No |
問2 |
| 学部 |
文科一類 ・ 文科二類 ・ 文科三類
|
| カテゴリ |
数列
|
| 状態 |
   |
\documentclass[a4j]{yasuda-book1}
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\usepackage[deluxe]{otf}
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\begin{document}
$r$は$0<r<1$をみたす実数，$n$は2以上の整数とする．平面上に与えられた1つの円を，次の条件 \mruichi ，\mruni をみたす2つの円で置き換える操作$\bd{(\hen{P})}$を考える．
\quad \mruichi 新しい2つの円の半径の比は$r:1-r$で，半径の和はもとの円の半径
\H に等しい．
\quad \mruni 新しい2つの円は互いに外接し，もとの円に内接する．
以下のようにして，平面上に$2^n$個の円を作る．
\quad ・最初に，平面上に半径1の円を描く．
\quad ・次に，この円に対して操作$\bd{(\hen{P})}$を行い，2つの円を得る（これを1回目の
\quad \quad 操作という）．
\quad ・$k$回目の操作で得られる$2^k$個の円のそれぞれについて，操作({\bf{P}})を行い，
\quad \quad $2^{k-1}$個の円を得る$(1\leq k\leq n-1)$．
\H\includegraphics[width=8.5cm]{2007-toudai-bun2.eps}
\begin{shomonr}
$n$回目の操作で得られる$2^n$個の円の周の長さの和を求めよ．
\end{shomonr}
\begin{shomonr}
2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ．
\end{shomonr}
\begin{shomonr}
$n$回目の操作で得られる$2^n$個の円の面積の和を求めよ．
\end{shomonr}
\end{document}
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