東京大学 文系 2007年度 問2

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解答作成者: 安田 亨

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入試情報

大学名 東京大学
学科・方式 文系
年度 2007年度
問No 問2
学部 文科一類 ・ 文科二類 ・ 文科三類
カテゴリ 数列
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4j]{yasuda-book1} \usepackage[dvips]{graphicx,color} \usepackage[deluxe]{otf} \usepackage{amsmath,ceo} \usepackage{custom_yasuda} \begin{document} $r$は$0<r<1$をみたす実数,$n$は2以上の整数とする.平面上に与えられた1つの円を,次の条件 \mruichi ,\mruni をみたす2つの円で置き換える操作$\bd{(\hen{P})}$を考える. \quad \mruichi 新しい2つの円の半径の比は$r:1-r$で,半径の和はもとの円の半径 \H に等しい. \quad \mruni 新しい2つの円は互いに外接し,もとの円に内接する. 以下のようにして,平面上に$2^n$個の円を作る. \quad ・最初に,平面上に半径1の円を描く. \quad ・次に,この円に対して操作$\bd{(\hen{P})}$を行い,2つの円を得る(これを1回目の \quad \quad 操作という). \quad ・$k$回目の操作で得られる$2^k$個の円のそれぞれについて,操作({\bf{P}})を行い, \quad \quad $2^{k-1}$個の円を得る$(1\leq k\leq n-1)$. \H\includegraphics[width=8.5cm]{2007-toudai-bun2.eps} \begin{shomonr} $n$回目の操作で得られる$2^n$個の円の周の長さの和を求めよ.   \end{shomonr} \begin{shomonr} 2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ. \end{shomonr} \begin{shomonr} $n$回目の操作で得られる$2^n$個の円の面積の和を求めよ. \end{shomonr} \end{document}