京都大学 理系乙 2010年度 問3

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 理系乙
年度 2010年度
問No 問3
学部 医 ・ 理 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理) ・ 経済(理)
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $a$を正の実数とする.座標平面において曲線$y=\sin x\enskip (0\leqq x\leqq\pi)$ と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とし,曲線$y=\sin x\enskip\Bigl(0\leqq x\leqq\Frac{\pi}{2}\Bigr)$,曲線$y=a\cos x\enskip\Bigl(0\leqq x\leqq\Frac{\pi}{2}\Bigr)$\smallskip および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする.こ のとき$S:T=3:1$となるような$a$の値を求めよ. \end{FRAME} %kai \begin{minipage}{\linewidth-15zw} \quad $S=\dint_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\pi}=2$\smallskip $0<x<\Frac{\pi}{2}$において,2曲線$y=\sin x$,$y=a\cos x$ ($a>0$) の交点がただ1つ あり,その$x$座標を$\alpha$とおくと, \begin{equation} \sin\alpha=a\cos\alpha\enskip\Bigl(0<x<\Frac{\pi}{2}\Bigr)\Tag{\maru{1}} \end{equation} このとき \end{minipage}\quad \parbox{15zw}{\input{10otu3fig1.tex}} \begin{align*} T&=\int_0^\alpha\sin x\,dx+\int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}a\cos x\,dx\\ &=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\alpha}+a\Bigl[\sin x\Bigr]_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}=1-\cos\alpha+a(1-\sin\alpha)\\ &=1-\cos\alpha+\Frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(1-\sin\alpha)\qquad(\because\enskip\maru{1})\\ &=\Frac{\cos\alpha+\sin\alpha-1}{\cos\alpha} \end{align*} $S:T=3:1$となるのは$S=3T$すなわち \begin{gather*} 2=3\cdot\Frac{\cos\alpha+\sin\alpha-1}{\cos\alpha}\yuen \cos\alpha=3(1-\sin\alpha) \end{gather*} のときである.これを $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$に代入して \begin{gather*} 9(1-\sin\alpha)^2+\sin^2\alpha=1 \yuen 5\sin^2\alpha-9\sin\alpha+4=0\\ \yue (\sin\alpha-1)(5\sin\alpha-4)=0 \end{gather*} これと$0<\alpha<\Frac{\pi}{2}$から \[ \sin\alpha=\Frac{4}{5}\ten \cos\alpha=\sqrt{1-\Bigl(\Frac{4}{5}\Bigr)^2}=\Frac{3}{5} \] 以上により,求める$a$は\maru{1}から \[ a=\tan\alpha=\ans{\Frac{4}{3}} \] %\betu %\chu \end{document}