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入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
理系乙 |
年度 |
2010年度 |
問No |
問3 |
学部 |
医 ・ 理 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理) ・ 経済(理)
|
カテゴリ |
積分法の応用
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$a$を正の実数とする.座標平面において曲線$y=\sin x\enskip (0\leqq x\leqq\pi)$
と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とし,曲線$y=\sin x\enskip\Bigl(0\leqq
x\leqq\Frac{\pi}{2}\Bigr)$,曲線$y=a\cos x\enskip\Bigl(0\leqq
x\leqq\Frac{\pi}{2}\Bigr)$\smallskip
および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする.こ
のとき$S:T=3:1$となるような$a$の値を求めよ.
\end{FRAME}
%kai
\begin{minipage}{\linewidth-15zw}
\quad
$S=\dint_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\pi}=2$\smallskip
$0<x<\Frac{\pi}{2}$において,2曲線$y=\sin x$,$y=a\cos x$ ($a>0$)
の交点がただ1つ
あり,その$x$座標を$\alpha$とおくと,
\begin{equation}
\sin\alpha=a\cos\alpha\enskip\Bigl(0<x<\Frac{\pi}{2}\Bigr)\Tag{\maru{1}}
\end{equation}
このとき
\end{minipage}\quad
\parbox{15zw}{\input{10otu3fig1.tex}}
\begin{align*}
T&=\int_0^\alpha\sin x\,dx+\int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}a\cos x\,dx\\
&=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\alpha}+a\Bigl[\sin
x\Bigr]_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}=1-\cos\alpha+a(1-\sin\alpha)\\
&=1-\cos\alpha+\Frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(1-\sin\alpha)\qquad(\because\enskip\maru{1})\\
&=\Frac{\cos\alpha+\sin\alpha-1}{\cos\alpha}
\end{align*}
$S:T=3:1$となるのは$S=3T$すなわち
\begin{gather*}
2=3\cdot\Frac{\cos\alpha+\sin\alpha-1}{\cos\alpha}\yuen \cos\alpha=3(1-\sin\alpha)
\end{gather*}
のときである.これを
$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$に代入して
\begin{gather*}
9(1-\sin\alpha)^2+\sin^2\alpha=1
\yuen 5\sin^2\alpha-9\sin\alpha+4=0\\
\yue (\sin\alpha-1)(5\sin\alpha-4)=0
\end{gather*}
これと$0<\alpha<\Frac{\pi}{2}$から
\[
\sin\alpha=\Frac{4}{5}\ten \cos\alpha=\sqrt{1-\Bigl(\Frac{4}{5}\Bigr)^2}=\Frac{3}{5}
\]
以上により,求める$a$は\maru{1}から
\[
a=\tan\alpha=\ans{\Frac{4}{3}}
\]
%\betu
%\chu
\end{document}