京都大学 理系乙 2010年度 問2

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 理系乙
年度 2010年度
問No 問2
学部 医 ・ 理 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理) ・ 経済(理)
カテゴリ 三角関数 ・ 微分法
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $x$を正の実数とする.座標平面上の3点A$(0,\ 1)$,B$(0,\ 2)$,P$(x,\ x)$をとり,\sankaku{APB}を考える.$x$の値が変化するとき,$\kaku{APB}$の 最大値を求めよ. \end{FRAME} %kai \begin{minipage}{\linewidth-15zw} \quad 直線AP,BPの方向角\smallskip ($x$軸正の方向からの回転角)を$\alpha$, $\beta$\enskip$\Bigl(-\Frac{\pi}{2}<\alpha<\Frac{\pi}{2}\ten -\Frac{\pi}{2}<\beta<\Frac{\pi}{2}\Bigr)$\smallskip とし, それらの傾きをそれぞれ$m_1$,$m_2$とすると, $$\tan\alpha=m_1=\Frac{x-1}{x}$$ $$ \tan\beta=m_2=\Frac{x-2}{x}\smallskip$$ $x>0$により$m_1>m_2$だから$\alpha>\beta$で,$\kaku{APB}=\alpha-\beta$. ゆえに, \end{minipage}\quad \parbox{15zw}{\input{10otu2fig1.tex}} \begin{align*} \tan\kaku{APB}&=\tan(\alpha-\beta)=\Frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\ &=\Frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=\Frac{\Frac{x-1}{x}-\Frac{x-2}{x}}{1+\Frac{x-1}{x}\cdot\Frac{x-2}{x}}\\ &=\Frac{x}{2x^2-3x+2}=\Frac{1}{2\Bigl(x+\Frac{1}{x}\Bigr)-3} \end{align*} ここで,$x>0$だから相加平均と相乗平均の関係により \[ x+\Frac{1}{x}\geqq2\sqrt{x\cdot\Frac{1}{x}}=2\yuen 2\Bigl(x+\Frac{1}{x}\Bigr)-3\geqq1 \] であり,等号は$x=1$のときに成り立つ.したがって \[ 0<\tan\kaku{APB}\leqq1 \] となり,$\kaku{APB}$は鋭角であり,$\kaku{APB}$が最大となるのは, $\tan\kaku{APB}$が最大値1をとるときである.ゆえに$\kaku{APB}$の最大値は $\ans{\Frac{\pi}{4}}$である. \bigskip \betu \begin{minipage}{\linewidth-15zw} \quad$x=1$のときのPを考えて,$\hen{P}_0(1,\ 1)$とすると,$\kaku{AP_0B}=\Frac{\pi}{4}$である. $\sankaku{AP_0B}$の外接円を$C$とすると,直径$\hen{BP}_0$が直線 $\hen{OP}_0$と垂直だから,$C$は直線$\hen{OP}_0$に$\hen{P}_0$で接する. \quad $\hen{P}\noteq\hen{P}_0$のとき,Pは$C$の外部にあるので,直線PBと $C$はB以外で交わり,その交点をQとすると, \begin{align*} \kaku{APB}&=\kaku{AQB}-\kaku{PAQ}\\ &<\kaku{AQB}=\kaku{AP_0B}=\Frac{\pi}{4} \end{align*} \end{minipage}\qquad \parbox{15zw}{\input{10otu2fig2.tex}} したがって,$\hen{P}=\hen{P}_0$のとき$\kaku{APB}$は最大値$\Frac{\pi}{4}$をとる. %\chu \end{document}