東京医科歯科大学 前期 2009年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2009年度
問No 問2
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 数と式 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=138mm \textheight=200mm \topmargin=-15mm \pagestyle{empty} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\fboxsep=1.5mm\framebox[7mm][c] {\textsf{\Large#1}}} } \begin{document} \noindent\,\Nbr{2}\ \ 正の整数$a\hspace*{.5pt},\ \,b\hspace*{.5pt},\ \, cを係数とする2次式f(x)=ax^2\makebox[14pt][c]{+}bx\makebox[14pt][c]{+}c\ に 関して,次の \\[1.5mm]\qquad 条件\mbox{C}を考える。\\[8mm] \hspace*{3zw} 条件\mbox{C}\raisebox{1pt}{:}\ 3で割り切れないすべての整数xに ついてf(x)が整数となる。\\[8mm] \qquad このとき以下の各問いに答えよ。\\[8mm] \qquad(\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \raisebox{.5pt}{$f(x)$}\hspace*{1pt}が条件 \mbox{C}を満たすとき,\ \ g(x)\makebox[1zw][c]{=}f(x+3)-f(x)は係数および定数項 \\[1.5mm]\hspace*{3zw}が整数となる1次式であることを示せ。\\[8mm] \qquad(\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ 条件\mbox{C}を満たす\makebox[23pt][c] {\raisebox{.5pt}{$f(x)$}}のうち,\ \,\raisebox{.5pt}{$f(\makebox[8pt][c]{1})=1 $}\ となるものを求めよ。\\[8mm] \qquad(\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ 以下の条件\mathrm{C'\,が条件C}\hspace*{1pt}と 同値となるような自然数の組\raisebox{.5pt}{$(m_1,\ m_2,\ m_3)$}のう\\[1.5mm] \hspace*{3zw}ち,\ \ m_1\makebox[14pt][c]{+}m_2\makebox[14pt][c]{+}m_3\,が 最小となるものを求めよ。\\[8mm] \hspace*{3zw}条件\mbox{C}'\raisebox{1pt}{:}\ m_1b,\ \,m_2a+m_3b,\ \,a+b+c がいずれも整数となる。\\[8mm] \qquad(\makebox[1.5mm][c]{4})\ \ nを自然数とする。条件\mbox{C}を満たす \makebox[23pt][c]{\raisebox{.5pt}{$f(x)$}}のうち,\ \,\raisebox{.5pt}{$ f(\makebox[8pt][c]{1})=n$}\ となるものの\\[1.5mm] \hspace*{3zw}個数をnを用いて表せ。$ \end{document}