東京医科歯科大学 前期 2008年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2008年度
問No 問2
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 三角関数 ・ 数列 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=130mm \textheight=200mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\fboxsep=1.5mm\framebox[7mm][c] {\textsf{\Large#1}}} } \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \noindent\Nbr{2}\ \ 以下の各問いに答えよ。ただし$tは0\,\mbox{\Large$<$} \,t\,\mbox{\Large$<$}\,\pi\,を満たす実数とする。\displaystyle \\[8mm]% \quad\ \ (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \ 次の等式を証明せよ。\\[2mm] \hspace*{4zw} \Bigl(\cos\frac{\raisebox{-.5mm}{$t$}}{\makebox[15pt][c]{2}} \Bigr)\!\Bigl(\cos\frac{\raisebox{-.5mm}{$t$}}{\makebox[15pt][c]{4}}\Bigr)\! \Bigl(\cos\frac{\raisebox{-.5mm}{$t$}}{\makebox[15pt][c]{8}}\Bigr) =\frac{\sin t}{\ \tabtopsp{0mm}8\sin\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$t$}} {\makebox[15pt][c]{8}}\,} \\[5mm]% \quad\ \ (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \ 次のように定義される数列\{a_{\hspace* {.8pt}n}\}の極限値\lim_{n\to\infty} a_{\hspace*{.8pt}n}\,をtを用いて表せ。\\ [2mm]\hspace*{4zw} a_{\hspace*{.5pt}1}^{}=\cos\frac{\raisebox{-.5mm}{$t$}} {\makebox[15pt][c]{2}}\,,\qquad\ a_{\hspace*{.8pt}n}=a_{\hspace*{.8pt}n-1} \Bigl(\cos\frac{\raisebox{-.5mm}{$t$}}{\ 2^{\,n}\,}\Bigr) \quad\ \ (\hspace*{1pt}n=2\,,\ 3\,,\,\cdots\cdots) \\[8mm]% \quad\ \ (\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ \ 数列\{b_{\hspace*{.5pt}n}\}\,,\ \, \{c_{\hspace*{.5pt}n}\}を次のように定義する。\\[1.5mm] \hspace*{4zw} b_{\hspace*{.5pt}1}^{}=\sqrt{\frac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\makebox[15pt][c]{2}}}\,,\qquad\ b_{\hspace*{.5pt}n}=\sqrt{\dfrac{\ 1 \hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}b_{\hspace*{.5pt}n-1}\,}{2}} \quad\ \ (\hspace*{1pt}n=2\,,\ 3\,,\,\cdots\cdots) \\[1.5mm]\hspace*{4zw} c_{\hspace*{.5pt}1}^{}=\sqrt{\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[15pt][c]{2} }}\,,\qquad\ c_{\hspace*{.5pt}n}=c_{\hspace*{.5pt}n-1}\,b_{\hspace*{.5pt}n} \quad\ \ (\hspace*{1pt}n=2\,,\ 3\,,\,\cdots\cdots) \\[2.5mm] \hspace*{3zw} このとき\lim_{n\to\infty} c_{\hspace*{.5pt}n}\,を求めよ。$ \end{document}