金沢大学 前期 2009年度 問2

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入試情報

大学名 金沢大学
学科・方式 前期
年度 2009年度
問No 問2
学部 文学部 ・ 教育学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部
カテゴリ 積分法
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \begin{document} \begin{flushleft} 関数 $f(t)$ は区間 $[-1,1]$ で連続で,偶関数,すなわち $f(-t)=f(t)$ であるとする.次の問いに答えよ.\\ \vspace*{0.5zw} (1) $\displaystyle \int_{-1}^0 f(t)dt=\displaystyle \int_0^1 f(t)dt$ を示せ.\\ \vspace*{0.5zw} (2) 関数 $F(x)=-\displaystyle \int_{-1}^1 |t-x|f(t)dt$ $(-1 \LEQQ x \LEQQ 1)$ について\\ \begin{center} $F'(x)=-\displaystyle \int_{-1}^x f(t)dt+\displaystyle \int_x^1 f(t)dt$\\ \vspace*{1zw} $F''(x)=-2f(x)\hspace*{8zw}$ \end{center} \hspace*{1zw}を示せ.\\ \vspace*{0.5zw} (3) 関数 $f(x)$ は,さらに等式\\ \begin{center} $f(x)=-\displaystyle \int_{-1}^1 |t-x|f(t)dt$ $(-1 \LEQQ x \LEQQ 1)$ \end{center} \hspace*{1zw}を満たすとする.このとき,関数 $g(x)=f(x)-f(0)\cos{\sqrt{2}x}$ について \begin{center} \hspace*{-4zw}$g(0)=g'(0)=0$\\ \vspace*{1zw} $\Bigg(\dfrac{1}{2}\{g'(x)\}^2+g(x)^2\Bigg)'=0$ \end{center} \hspace*{1zw}が成り立つことを示し,$f(x)=f(0)\cos{\sqrt{2}x}$ を導け. \end{flushleft} \end{document}