東京医科歯科大学 前期 2007年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2007年度
問No 問2
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \textheight=200mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\fboxsep=1.5mm\framebox[7mm][c] {\textsf{\Large#1}}} } \begin{document} \noindent\hspace*{-1.2zw}\Nbr{2}\ \ 座標平面上の動点Qが以下の規則% \raisebox{.5pt}{(a)~(f)}に従って1秒ごとに移動する。\\[8mm]% \quad\,\ \raisebox{.5pt}{(a)}\ \ 原点\,\raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{0},% \hspace*{8pt}\makebox[1zw][c]{0})}\hspace*{1pt}を出発点とし,まず点\,% \raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{1},\hspace*{8pt}\makebox[1zw][c]{0})}\hspace* {1pt}または点\,\raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{0},\hspace*{8pt}\makebox[1zw] [c]{1})}\hspace*{1pt}または点\\[1mm]\qquad\ \ \raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw] [c]{0},\hspace*{8pt}$-$\,1\,)}\,に,それぞれ確率\,\raisebox{1pt} {$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[14pt][c]{3}}$}で移動する。\\[2mm]% \quad\,\ \raisebox{.5pt}{(b)}\ \ ある時刻に点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$ (\hspace*{1pt}x-1\,,\ \,y\hspace*{1pt})$}\hspace*{1pt}から点\hspace*{1pt}% \raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\ \,y\hspace*{1pt})$}\hspace*{1pt}に移動した ならば,その1秒後に\\[1mm]\qquad\ \ は点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$ (\hspace*{1pt}x+1\,,\ \,y\hspace*{1pt})$}\hspace*{1pt}または点\hspace*{1pt}% \raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\ \,y+1)$}\hspace*{1pt}または点\hspace*{1pt}% \raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\ \,y-1\hspace*{1pt})$}\hspace*{1pt}に, それぞれ確率\\[1mm]\qquad\ \,\raisebox{1pt}{$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\makebox[14pt][c]{3}}$}で移動する。\\[2mm]% \quad\,\ \raisebox{.5pt}{(c)}\ \ ある時刻に点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$( \hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{0})$}\hspace*{1pt}から点\hspace* {1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[10pt][c]{1})$}% \hspace*{1pt}に移動したならば,その1秒後には\\[1mm]\qquad\ \,点\hspace*{1pt}% \raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{2})$}\hspace* {1pt}または点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x+1\,,\hspace*{7pt}% \makebox[10pt][c]{1})$}\hspace*{1pt}に,それぞれ確率\raisebox{1pt} {$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[14pt][c]{2}}$}で移動する。\\[2mm]% \quad\,\ \raisebox{.5pt}{(d)}\ \ ある時刻に点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$( \hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{0})$}\hspace*{1pt}から点\hspace* {1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{8pt}-\hspace*{2pt}1\,)$}% \hspace*{1pt}に移動したならば,その1秒後に\\[1mm]\qquad\ \,は点\hspace*{1pt}% \raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{8pt}-\hspace*{2pt}2\,)$}または点% \hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x+1\,,\hspace*{8pt}-\hspace*{2pt}1 \,)$}\hspace*{1pt}に,それぞれ確率\raisebox{1pt} {$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[14pt][c]{2}}$}で移動する。\\[2mm]% \quad\,\ \raisebox{.5pt}{(e)}\ \ ある時刻に点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$( \hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{1})$}\hspace*{1pt}または点\hspace* {1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{8pt}-\hspace*{2pt}1\,)$}% \hspace*{1pt}か\hspace*{.3pt}ら\hspace*{.3pt}点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt} {$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{0})$}\hspace*{1pt}に\hspace* {.3pt}移\hspace*{.3pt}動\hspace*{.3pt}し\hspace*{.3pt}た\hspace*{.3pt}な% \hspace*{.3pt}ら\\[1mm]\qquad\ \,ば,その1秒後には点\hspace*{1pt}% \raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x+1\,,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{0}) $}\hspace*{1pt}に移動する。\\[1mm]% \quad\,\ \raisebox{.5pt}{(f)}\ \ 直線$y=2上の点または直線y=-\,2上の点に達した 場合には停止する。\\[1mm]\qquad\ \,このとき以下の各問いに答えよ。\\[8mm]% \ \,(\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \,n$を正の整数とするとき,Q\hspace*{1pt}がある 時刻に点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}n-1\,,\hspace*{6pt} \makebox[10pt][c]{0})$}\hspace*{1pt}に位置し,かつそ\\[1mm]\quad\ \,の1秒後に 点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}n,\ \,\makebox[10pt][c]{0})$}% \hspace*{1pt}に移動している確率を\ \raisebox{1pt}{$p_n$}\,とする。またQがある 時刻に\\[1mm]\quad\ \,点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}n-1\,, \hspace*{7pt}\makebox[10pt][c]{1})$}\hspace*{1pt}に位置し,かつその1秒後に 点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}n,\hspace*{7pt}\makebox[10pt][c] {1})$}\hspace*{1pt}に移動している確率を\\[1mm]\quad\ \,$p\hspace*{.5pt}'_{\,n} \hspace*{1pt}とする。\ \,p_{\,1},\hspace*{4pt}p_{\,2},\hspace*{4pt}p\hspace* {.5pt}'_{\,1},\hspace*{4pt}p\hspace*{.5pt}'_{\,2}$を,それぞれ求めよ。\\[8mm]% \ \,(\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,Q\hspace*{1pt}が直線$x=2上の点に達する確率, および直線x=3\hspace*{1pt}上の点に達する確率\\[1mm]\quad\,\ をそれぞれ求めよ。 \\[8mm]\ \,(\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ \,m$を正の整数とするとき,Qが点\hspace* {1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}m,\hspace*{7pt}\makebox[10pt][c]{0})$}% \hspace*{1pt}に達する確率を$m$で表せ。 \end{document}