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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
| 大学名 |
東京医科歯科大学 |
| 学科・方式 |
前期 |
| 年度 |
2007年度 |
| 問No |
問2 |
| 学部 |
医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
|
| カテゴリ |
確率 ・ 数列
|
| 状態 |
   |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=132mm \textheight=200mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\fboxsep=1.5mm\framebox[7mm][c]
{\textsf{\Large#1}}} }
\begin{document}
\noindent\hspace*{-1.2zw}\Nbr{2}\ \ 座標平面上の動点Qが以下の規則%
\raisebox{.5pt}{(a)～(f)}に従って1秒ごとに移動する。\\[8mm]%
\quad\,\ \raisebox{.5pt}{(a)}\ \ 原点\,\raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{0},%
\hspace*{8pt}\makebox[1zw][c]{0})}\hspace*{1pt}を出発点とし，まず点\,%
\raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{1},\hspace*{8pt}\makebox[1zw][c]{0})}\hspace*
{1pt}または点\,\raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{0},\hspace*{8pt}\makebox[1zw]
[c]{1})}\hspace*{1pt}または点\\[1mm]\qquad\ \ \raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw]
[c]{0},\hspace*{8pt}$-$\,1\,)}\,に，それぞれ確率\,\raisebox{1pt}
{$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[14pt][c]{3}}$}で移動する。\\[2mm]%
\quad\,\ \raisebox{.5pt}{(b)}\ \ ある時刻に点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$
(\hspace*{1pt}x-1\,,\ \,y\hspace*{1pt})$}\hspace*{1pt}から点\hspace*{1pt}%
\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\ \,y\hspace*{1pt})$}\hspace*{1pt}に移動した
ならば，その1秒後に\\[1mm]\qquad\ \ は点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$
(\hspace*{1pt}x+1\,,\ \,y\hspace*{1pt})$}\hspace*{1pt}または点\hspace*{1pt}%
\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\ \,y+1)$}\hspace*{1pt}または点\hspace*{1pt}%
\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\ \,y-1\hspace*{1pt})$}\hspace*{1pt}に，
それぞれ確率\\[1mm]\qquad\ \,\raisebox{1pt}{$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}
{\makebox[14pt][c]{3}}$}で移動する。\\[2mm]%
\quad\,\ \raisebox{.5pt}{(c)}\ \ ある時刻に点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(
\hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{0})$}\hspace*{1pt}から点\hspace*
{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[10pt][c]{1})$}%
\hspace*{1pt}に移動したならば，その1秒後には\\[1mm]\qquad\ \,点\hspace*{1pt}%
\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{2})$}\hspace*
{1pt}または点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x+1\,,\hspace*{7pt}%
\makebox[10pt][c]{1})$}\hspace*{1pt}に，それぞれ確率\raisebox{1pt}
{$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[14pt][c]{2}}$}で移動する。\\[2mm]%
\quad\,\ \raisebox{.5pt}{(d)}\ \ ある時刻に点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(
\hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{0})$}\hspace*{1pt}から点\hspace*
{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{8pt}-\hspace*{2pt}1\,)$}%
\hspace*{1pt}に移動したならば，その1秒後に\\[1mm]\qquad\ \,は点\hspace*{1pt}%
\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{8pt}-\hspace*{2pt}2\,)$}または点%
\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x+1\,,\hspace*{8pt}-\hspace*{2pt}1
\,)$}\hspace*{1pt}に，それぞれ確率\raisebox{1pt}
{$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[14pt][c]{2}}$}で移動する。\\[2mm]%
\quad\,\ \raisebox{.5pt}{(e)}\ \ ある時刻に点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(
\hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{1})$}\hspace*{1pt}または点\hspace*
{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{8pt}-\hspace*{2pt}1\,)$}%
\hspace*{1pt}か\hspace*{.3pt}ら\hspace*{.3pt}点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}
{$(\hspace*{1pt}x,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{0})$}\hspace*{1pt}に\hspace*
{.3pt}移\hspace*{.3pt}動\hspace*{.3pt}し\hspace*{.3pt}た\hspace*{.3pt}な%
\hspace*{.3pt}ら\\[1mm]\qquad\ \,ば，その1秒後には点\hspace*{1pt}%
\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}x+1\,,\hspace*{7pt}\makebox[1zw][c]{0})
$}\hspace*{1pt}に移動する。\\[1mm]%
\quad\,\ \raisebox{.5pt}{(f)}\ \ 直線$y=2上の点または直線y=-\,2上の点に達した
場合には停止する。\\[1mm]\qquad\ \,このとき以下の各問いに答えよ。\\[8mm]%
\ \,(\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \,n$を正の整数とするとき，Q\hspace*{1pt}がある
時刻に点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}n-1\,,\hspace*{6pt}
\makebox[10pt][c]{0})$}\hspace*{1pt}に位置し，かつそ\\[1mm]\quad\ \,の1秒後に
点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}n,\ \,\makebox[10pt][c]{0})$}%
\hspace*{1pt}に移動している確率を\ \raisebox{1pt}{$p_n$}\,とする。またQがある
時刻に\\[1mm]\quad\ \,点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}n-1\,,
\hspace*{7pt}\makebox[10pt][c]{1})$}\hspace*{1pt}に位置し，かつその1秒後に
点\hspace*{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}n,\hspace*{7pt}\makebox[10pt][c]
{1})$}\hspace*{1pt}に移動している確率を\\[1mm]\quad\ \,$p\hspace*{.5pt}'_{\,n}
\hspace*{1pt}とする。\ \,p_{\,1},\hspace*{4pt}p_{\,2},\hspace*{4pt}p\hspace*
{.5pt}'_{\,1},\hspace*{4pt}p\hspace*{.5pt}'_{\,2}$を，それぞれ求めよ。\\[8mm]%
\ \,(\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,Q\hspace*{1pt}が直線$x=2上の点に達する確率，
および直線x=3\hspace*{1pt}上の点に達する確率\\[1mm]\quad\,\ をそれぞれ求めよ。
\\[8mm]\ \,(\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ \,m$を正の整数とするとき，Qが点\hspace*
{1pt}\raisebox{.5pt}{$(\hspace*{1pt}m,\hspace*{7pt}\makebox[10pt][c]{0})$}%
\hspace*{1pt}に達する確率を$m$で表せ。
\end{document}
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