首都大学東京 理系<前> 2007年度 問3

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入試情報

大学名 首都大学東京
学科・方式 理系<前>
年度 2007年度
問No 問3
学部 都市教養学部<理> ・ 都市環境学部 ・ システムデザイン学部 ・ 健康福祉学部
カテゴリ 式と証明 ・ 行列と連立一次方程式
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \begin{document} \begin{flushleft} 以下の問いに答えなさい.\\ \vspace*{0.5zw} (1) 実数 $a$,$b$,$x$,$y$ に対して,不等式 \begin{center} $(ax+by)^2 \LEQQ (a^2+b^2)(x^2+y^2)$ \end{center} \hspace*{1zw}が成り立つことを示しなさい.\\ \vspace*{0.5zw} (2) 実数を成分とする 2 次の正方行列 $A$ について,次の 2 つの命題(ア)と(イ)は同値であることを証明し\\ \hspace*{1zw}なさい.\\ \hspace*{1zw}(ア) 行列 $A$ は逆行列をもつ.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}(イ) 条件 $A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ をみたす実数 $x$,$y$ は $x=y=0$ に限る.\\ \vspace*{0.5zw} (3) 実数 $a$,$b$,$c$,$d$ が $a^2+b^2+c^2+d^2<1$ をみたすとき,行列 \begin{center} $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$,\hspace*{1zw}$E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ \end{center} \hspace*{1zw}に対して,行列 $E-A$ は逆行列をもつことを示しなさい. \end{flushleft} \end{document}