首都大学東京 理系<前> 2007年度 問2

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入試情報

大学名 首都大学東京
学科・方式 理系<前>
年度 2007年度
問No 問2
学部 都市教養学部<理> ・ 都市環境学部 ・ システムデザイン学部 ・ 健康福祉学部
カテゴリ 確率 ・ 関数と極限
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \begin{document} \begin{flushleft} いま $n$ を自然数として,次の性質をもつ 2 つのルーレットがあるとする.ルーレット 1 をまわすと\\ \vspace*{0.3zw} $0, 1, 2, \cdots, 12n-1, 12n$ のいずれかの数が,それぞれ同じ確率 $\dfrac{1}{12n+1}$ で出る.ルーレット 2 をまわすと $3n, 6n$ のどちらかの数が,それぞれ同じ確率 $\dfrac{1}{2}$ で出る.さて 2 人の人物 A,B が,これらのルーレットを用いて次のようなゲームをする.まず A がルーレット 1 をまわし,出た数を $a$ とする.次に B がルーレット 2 をまわし,出た数を $b$ とする.もし $a \GEQQ 2b$ ならば A の勝ち,もし $b \GEQQ 2a$ ならば B の勝ち,それらのいずれでもなければ引き分けとする.このとき A が勝つ確率を $p_n$ とし B が勝つ確率を $q_n$ として,以下の問いに答えなさい.答えのみでなく,理由も述べなさい.\\ \vspace*{0.5zw} (1) 確率 $p_1$ および $q_1$ を,それぞれ求めなさい.\\ \vspace*{0.5zw} (2) 確率 $p_n$ および $q_n$ を,それぞれ $n$ を用いて表しなさい.\\ \vspace*{0.5zw} (3) 極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$ および $\displaystyle \lim_{n \to \infty} q_n$ を,それぞれ求めなさい. \end{flushleft} \end{document}