慶應義塾大学 医学部 2010年度 問3

解答を見る

解答作成者: 大塚 美紀生

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 医学部
年度 2010年度
問No 問3
学部 医学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。

\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=146mm \textheight=212mm \topmargin=-15mm \usepackage{epic,eepic,emathP} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\raisebox{.5pt}{\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1.8zw}\raisebox{1pt}{[}\makebox[1.3zw][c] {I\hspace*{-1pt}I\hspace*{-1pt}I}\raisebox{1pt}{]} {\fboxsep=.8mm \\[2mm]% \quad\textgt{以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。} \\[5mm]\quad 三角形が\makebox[1zw][c]{1}つと球がたくさん用意されている。三角形 の各頂点上には高々\makebox[1zw][c]{2}個の球を\\[1mm]置くことができるとし, 三角形上の頂点以外の位置には球を置くことはできないとする。\\[1mm]% 三角形上に少なくとも1個の球が置かれている状態に対して次の操作Tを考える。\\[5mm]% \hspace*{3zw}\begin{picture}(300,157) \path(0,0)(364,0)(364,150)(0,150)(0,0) \Nuritubusi[0]{(-10,143)(17,143) (17,157)(-10,157)(-10,143)} \put(-16,146){\textbf{操作\hspace*{1pt}T}} \put(13,72){\parbox{338pt}{\makebox[3.2zw][l]{\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt] [c]{T}\makebox[7pt][c]{1})}}三角形上の球どれか1個を等しい確率で選ぶ。\\ [1.5mm]\makebox[5.8zw][l]{\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt][c]{T}\makebox[8pt] [c]{2})\quad(\makebox[7pt][c]{a})}}確率$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\makebox[1zw][c]{2}}$で,\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt][c]{T}\makebox[7pt] [c]{1})}\,により選ばれた球が置かれている頂点上\\[1.5mm]\hspace*{5.8zw}に 三角形外から球を1個加える。\\[1.5mm]\makebox[5.8zw][r]{\raisebox{.5pt} {(\makebox[7pt][c]{b})}\quad}確率$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[1zw] [c]{4}}$ずつで,\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt][c]{T}\makebox[7pt][c]{1})}\,% により選ばれた球を隣の2つの頂点\\[1.5mm]\hspace*{5.8zw}のどちらかに移す。\\ [1mm]\makebox[3.3zw][l]{\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt][c]{T}\makebox[8pt] [c]{3})}}\raisebox{.5pt}{(\makebox[8.5pt][c]{T}\makebox[7.5pt][c]{2})}\,の 結果,\makebox[1zw][c]{1}つの頂点上に\makebox[1zw][c]{3}個の球が置かれた 場合は,その\\[1mm]\hspace*{3.3zw}3個目の球を直前にあった位置に戻す。}} \end{picture} \\[3mm]% \quad また,次の4つの状態を考える。\\[1mm]% \quad\makebox[1zw][c]{A}\raisebox{1pt}{:}\ \,2つの頂点上に2個ずつ球が置かれ, 1つの頂点上には何も置かれていない状態\\[1mm]\quad\makebox[1zw][c]{B}\raisebox {1pt}{:}\ \,1つの頂点上に2個の球が置かれ,2つの頂点上に1個ずつ球が置かれている 状態\\[1mm]\quad\makebox[1zw][c]{C}\raisebox{1pt}{:}\hspace*{2.5pt}三角形上に 合計5個の球が置かれている状態\\[1mm]\quad\makebox[1zw][c]{D}\raisebox{1pt}{:}% \hspace*{2.5pt}三角形上に合計6個の球が置かれている状態\\[1mm]% \quad い\hspace*{.5pt}ま,状態\makebox[14pt][c]{A}か\hspace*{.8pt}ら\hspace* {.8pt}始\hspace*{.8pt}め,操\hspace*{.5pt}作\makebox[14pt][c]{T}を\hspace* {.7pt}何\hspace*{.7pt}回\hspace*{.7pt}か\hspace*{.7pt}繰\hspace*{.7pt}り% \hspace*{.7pt}返\hspace*{.7pt}し\hspace*{.7pt}行\hspace*{.7pt}う。以\hspace* {.7pt}下,各\hspace*{.8pt}回\hspace*{.8pt}の\hspace*{.8pt}操\hspace*{.8pt}作% \hspace*{.8pt}を\hspace*{2.5pt}\raisebox{.5pt}{(\makebox[9pt][c]{T}% \makebox[8pt][c]{3})}\\[1mm]まで終えたときの状態のみに着目し,操作途中の状態を 考えないものとする。また,$nを\\[1mm]自然数とする。\\[5mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1zw][c]{1})}\quad 操作\mbox{T}をn回繰り返し終えた とき,状態が\makebox[12pt][c]{A}である確率をa_n,\ \,状態が\makebox[12pt][c]{B} である\\[1mm]\hspace*{3zw}確率をb_n\,とする。\ \ a_1=\kobox{\paalen{あ}}\,,\ \, b_1=\kobox{\paalen{い}}\,である。さらに,\ \ n\geqq 2に対して\\[1mm] \hspace*{3zw} a_n,\ \,b_n\,をa_{n-1},\ \,b_{n-1}\,で表すと\\[4mm] \hspace*{12zw} \Biggl\{\,\begin{array}{@{}l} a_n=\kobox{\paalen{う}}\, a_{n-1}+\kobox{\paalen{え}}\,b_{n-1} \\[1mm] b_n=\kobox{\paalen{お}}\, a_{n-1}+\kobox{\paalen{か}}\,b_{n-1} \end{array} \\[3mm] \hspace*{3zw} である。これよりa_n-b_n,\ a_n+\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\makebox[1zw][c]{2}}b_n\,をそれぞれnの式で表すとa_n-b_n=\kobox{\paalen{き}}\,, \\[1mm]\hspace*{3zw} a_n+\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[1zw][c]{2}}b_n =\kobox{\paalen{く}}\,である。$} \newpage\noindent \makebox[3zw][r]{(\makebox[1zw][c]{2})}{\fboxsep=.8mm\quad 操作Tを$n回繰り返し 終えたとき初めて状態が\mbox{C}になる確率をc_n\,とする。\ \,c_n\,を\\[1mm] \hspace*{3zw}\, nの式で表すとc_n=\kobox{\paalen{け}}\,である。\\[5mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1zw][c]{3})}\quad 操作\mbox{T}をn回繰り返し終えた とき初めて状態が\mbox{D}になる確率をd_n\,とする。\ \,n\geqq 3 \\[1mm] \hspace*{3zw} に対してd_n\,をnの式で表すと \displaystyle \\[3mm] \hspace*{16.4zw} d_n=\sum_{k=1}^{n-2}\,\kobox{\paalen{こ}} \\[3mm] \hspace*{3zw}である。$} \end{document}