慶應義塾大学 医学部 2009年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 医学部
年度 2009年度
問No 問3
学部 医学部
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=147mm \textheight=213mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.8mm\framebox[13.5mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1.8zw}\raisebox{1pt}{[}\makebox[1.3zw][c] {I\hspace*{-1pt}I\hspace*{-1pt}I}\raisebox{1pt}{]} $ \\[2mm]\quad \textbf{以\hspace*{-.5pt}下\hspace*{-.5pt}の\hspace*{-.5pt}文\hspace*{-.5pt}章% \hspace*{-.5pt}の\hspace*{-.5pt}空\hspace*{-.5pt}欄\hspace*{-.5pt}に\hspace* {-.5pt}適\hspace*{-.5pt}切\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}数\hspace*{-.5pt}ま% \hspace*{-.5pt}た\hspace*{-.5pt}は\hspace*{-.5pt}式\hspace*{-.5pt}を\hspace* {-.5pt}入\hspace*{-.5pt}れ\hspace*{-.5pt}て\hspace*{-.5pt}文\hspace*{-.5pt}章% \hspace*{-.5pt}を\hspace*{-.5pt}完\hspace*{-.5pt}成\hspace*{-.5pt}さ\hspace* {-.5pt}せ\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}さ\hspace*{-.5pt}い。また,\hspace* {-1pt}設\hspace*{-.5pt}問\ \raisebox{.5pt}{\paalen{\makebox[9pt][c]{3}}}} \\ [1mm]\textgt{に\hspace*{-.3pt}答\hspace*{-.3pt}え\hspace*{-.3pt}な\hspace* {-.3pt}さ\hspace*{-.3pt}い。}\\[4mm]% \quad 正方形の4つの頂点に\ \mathrm{A_1,\hspace*{3pt}A_2,\hspace*{3pt}A_3, \hspace*{3pt}A_4\,の順に反時計回りに名前をつける。\ \ A_1,\hspace*{3pt}A_2}\,上 \\[1mm]には表を上にした硬貨を1枚ずつ置き,\ \,\mathrm{A_3,\hspace*{3pt}A_4} \hspace*{1pt}上には裏を上にした硬貨を1枚ずつ置く。\\[1mm]いま次の操作\mbox{T} を何回か繰返し行う。\\ \hspace*{5.2zw} \begin{picture}(300,118) \path(0,0)(331,0)(331,106)(0,106)(0,0) \Nuritubusi[0]{(-10,99)(15,99) (15,113)(-10,113)(-10,99)} \put(-18,102){\textbf{操作\hspace*{1pt}T}} \put(11,50){\parbox{318pt}{\makebox[1zw][c]{4}つ\hspace*{.5pt}の\hspace* {.5pt}頂\hspace*{.5pt}点\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}ど\hspace*{.5pt}れ% \hspace*{.5pt}か\hspace*{.5pt}を\hspace*{.5pt}確\hspace*{.5pt}率$ \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[12pt][c]{4}}$ず\hspace*{.5pt}つ\hspace* {.5pt}で\hspace*{.5pt}選\hspace*{.5pt}ぶ。選\hspace*{.5pt}ば\hspace*{.5pt}% れ\hspace*{.5pt}た\hspace*{.5pt}頂\hspace*{.5pt}点\hspace*{.5pt}をA$_i \\ [1mm](\hspace*{1pt}i\!=\,$1\hspace*{.5pt},\ 2\hspace*{.5pt},\ 3\hspace* {.5pt},\ 4\hspace*{.5pt})とするとき,辺に沿ってA$_i$上の硬貨と並んでいる\\ [1mm]硬貨2枚のうちA$_i$\,上\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}硬\hspace*{.5pt}% 貨\hspace*{.5pt}と\hspace*{.5pt}は\hspace*{.5pt}逆\hspace*{.5pt}の\hspace* {.5pt}面\hspace*{.5pt}を\hspace*{.5pt}上\hspace*{.5pt}に\hspace*{.5pt}し% \hspace*{.5pt}た\hspace*{.5pt}も\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}の\hspace* {.5pt}枚\hspace*{.5pt}数\hspace*{.5pt}を\\[1mm]\makebox[1zw][c]{$k$}と% \hspace*{1pt}す\hspace*{1pt}る。次\hspace*{.3pt}に,A$_i\,上\hspace*{.7pt}の \hspace*{.7pt}硬\hspace*{.7pt}貨\hspace*{.7pt}を\hspace*{.7pt}確\hspace* {.7pt}率\,\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$k$}}{\makebox[12pt][c]{3}}\,で\hspace* {1pt}ひ\hspace*{3pt}っ\hspace*{2pt}く\hspace*{1pt}り\hspace*{1pt}返 \hspace*{1pt}し,確\hspace*{1pt}率 \\[-1mm]\,1-\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$k$}} {\makebox[12pt][c]{3}}$でそのままにしておく。}} \end{picture} \\[2mm]% \quad 以下,\ \,n$を自然数とする。操作Tを$n回繰返し行った結果,表を上にした硬貨 がちょう\\[1mm]ど1枚だけある確率を\,\raisebox{1pt}{$p_n^{}$},\ \ ちょうど2枚 だけありそれらが辺に\hspace*{.4pt}沿\hspace*{1pt}っ\hspace*{1pt}て\hspace* {.4pt}並\hspace*{.4pt}ん\hspace*{.4pt}で\hspace*{.4pt}い\hspace*{.4pt}る% \hspace*{.4pt}確\hspace*{.4pt}率\hspace*{.4pt}を\\[1mm]\,\raisebox{1pt} {$q_n^{}$},\ \ ちょうど2枚だけありそれらが対角線に沿って並んでいる確率を\, \raisebox{1pt}{$r_n$},\ \ ちょうど3枚\\[1mm]だけある確率を\,\raisebox{1pt} {$s_n$}\,とする。\\[4mm] \makebox[4zw][r]{(\makebox[1zw][c]{1})\quad} p_1^{}\hspace*{-1pt}=\hspace*{1pt} \kobox{\paalen{あ}}\makebox[15pt][l]{\hspace*{3pt},} q_1^{}\hspace*{-1pt} =\hspace*{1pt}\kobox{\paalen{い}}\makebox[15pt][l]{\hspace*{3pt},} r_1^{} \hspace*{-1pt}=\hspace*{1pt}\kobox{\paalen{う}}\makebox[15pt][l]{\hspace* {3pt},} s_1^{}\hspace*{-1pt}=\hspace*{1pt}\kobox{\paalen{え}}\,である。\\[4mm] \makebox[4zw][r]{(\makebox[1zw][c]{2})\quad} n\geqq 2のとき,\ \,\raisebox{2pt} {$p_n^{}$},\hspace*{3pt}\raisebox{2pt}{$q_n^{}$},\hspace*{3pt}\raisebox{1pt} {$r_n$},\hspace*{3pt}\raisebox{1pt}{$s_n$}\hspace*{1pt}と\hspace*{2pt} \raisebox{2pt}{$p_{n\hspace*{-.5pt}-\hspace*{-.5pt}1}^{}$},\hspace*{3pt} \raisebox{2pt}{$q_{n\hspace*{-.5pt}-\hspace*{-.5pt}1}^{}$},\hspace*{3pt} \raisebox{1pt}{$r_{n\hspace*{-.5pt}-\hspace*{-.5pt}1}$},\hspace*{3pt} \raisebox{1pt}{$s_{n-1}$}\,の関係を4次の正方行列 \\[1mm] \hspace*{3zw}を用いて表すと \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \left(\begin{array}{c} p_n \\[3mm] q_n \\[3mm] r_n \\[3mm] s_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \kobox{\paalen{お}} & \kobox{\paalen{か}} & \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 3\ } & 0 \\[2mm] \kobox{\paalen{き}} & \kobox{\paalen{く}} & 0 & \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\ 6\ } \\[2mm] \kobox{\paalen{け}} & \kobox{\paalen{こ}} & \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 3\ } & 0 \\[2mm] 0 & \kobox{\paalen{さ}} & \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 3\ } & \kobox{\paalen{し}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} p_{n-1} \\[3mm] q_{n-1} \\[3mm] r_{n-1} \\[3mm] s_{n-1} \end{array}\right) \\[1.5mm] \hspace*{3zw} である。これより任意のnに対してr_n\,を求めると r_n=\kobox{\paalen{す}}\,である。\\[4mm] \makebox[4zw][r]{(\makebox[1zw][c]{3})\quad} 任意のnに対して\ \raisebox{1pt} {$p_n^{}$}=s_n\,であることを示しなさい。\\[4mm] \makebox[4zw][r]{(\makebox[1zw][c]{4})\quad} 任意のnに対して\,\sqrt{\,2\,}\, \raisebox{1pt}{$p_n^{}$}\makebox[1zw][c]{+}\raisebox{1pt}{$q_n^{}$}\,と -\hspace*{-3pt}\sqrt{\,2\,}\,\raisebox{1pt}{$p_n^{}$}\makebox[1zw][c]{+} \raisebox{1pt}{$q_n^{}$}\,をそれぞれ求めると \\[1mm] \hspace*{3zw} \sqrt{\,2\,}\,\raisebox{1pt}{$p_n^{}$}\makebox[11pt][c] {+}\raisebox{1pt}{$q_n^{}$}=\kobox{\paalen{せ}}\hspace*{2pt},\ \ -\sqrt{\,2\,}\,\raisebox{1pt}{$p_n^{}$}\makebox[11pt][c]{+}\raisebox{1pt} {$q_n^{}$}=\kobox{\paalen{そ}}\ である。これより\\[1.5mm] \hspace*{3zw}\, p_n^{}\!=\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}\Bigl(\, \kobox{\paalen{せ}}\hspace*{1pt}-\hspace*{1pt}\kobox{\paalen{そ}}\,\Bigr) \hspace*{.5pt},\ \ q_n^{}\!=\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 2\ }\Bigl(\,\kobox {\paalen{せ}}\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}\kobox{\paalen{そ}}\,\Bigr)である。$ \end{document}