杏林大学 医学部 2009年度 問4

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 杏林大学
学科・方式 医学部
年度 2009年度
問No 問4
学部 医学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{flushleft} (1) (a) 初項 4,公差 $\displaystyle \frac{5}{N}$ の等差数列を $\{ a_k \}$ $(k=1,2,3,\hspace*{0.5zw}\cdots)$ とすると \setlength{\mathindent}{5zw} \[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N}\sum _{k=1}^N a_k^{\frac{3}{2}}=\frac{\f{アイウ}}{\f{\hspace*{0.5zw}エオ\hspace*{0.5zw}}}\] \hspace*{2.5zw}である.\\ \hspace*{2zw}(b) 初項 0,公差 $\displaystyle \frac{3}{N}$ の等差数列を $\{ b_k \}$ $(k=1,2,3,\hspace*{0.5zw}\cdots)$ とすると \[ \lim_{p \to 0}\Big(\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N}\sum _{k=1}^N b_k^p\Big)^{\frac{1}{p}}=\f{\hspace*{1zw}カ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}e^{\f{キク}}\] \hspace*{2.5zw}である.\\ \vspace*{2zw} (2) $\f{\hspace*{1zw}ケ\hspace*{1zw}}$,$\f{\hspace*{1zw}サ\hspace*{1zw}}$,$\f{\hspace*{1zw}セ\hspace*{1zw}}$,$\f{\hspace*{1zw}タ\hspace*{1zw}}$,$\f{\hspace*{1zw}ツ\hspace*{1zw}}$ の解答はそれぞれ該当する解答群から最も適当なものを一\\ \hspace*{1zw}つ選べ.\\ \hspace*{1zw}つねに \[\cos{2x} \GEQQ 1-2x^2\hspace*{1zw}\cdots \cdots \MARU{1} \] \hspace*{1zw}が成り立つことを証明したい. \[ f(x)=\cos{2x}+2x^2-1 \] \hspace*{1zw}とおくと,導関数 $f'(x)$ は \[ f'(x)=\f{\hspace*{1zw}ケ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}+\f{\hspace*{1zw}コ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}x\] \hspace*{1zw}となり,第 2 次導関数 $f''(x)$ は \[ f''(x)=\f{\hspace*{1zw}サ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}+\f{\hspace*{1zw}シ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}\] \hspace*{1zw}となる.$f'(0)=\f{\hspace*{1zw}ス\hspace*{1zw}}$ であり,つねに $f''(x)\hspace*{0.3zw}\f{\hspace*{1zw}セ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}\f{\hspace*{1zw}ソ\hspace*{1zw}}$ なので,$f(x)$ は $x=0$ で $\f{\hspace*{1zw}タ\hspace*{1zw}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}である.また,$f(0)=\f{\hspace*{1zw}チ\hspace*{1zw}}$ なので,つねに $f(x)\hspace*{0.3zw}\f{\hspace*{1zw}ツ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}\f{\hspace*{1zw}テ\hspace*{1zw}}$ となって式 $\MARU{1}$ が証明される.\\ \vspace*{2zw} $\f{\hspace*{1zw}ケ\hspace*{1zw}}$,$\f{\hspace*{1zw}サ\hspace*{1zw}}$ の解答群 \setlength{\mathindent}{0zw} \[ \begin{array}{l l l l l l l l} \egg{1} & -4\sin{2x} & \egg{2} & -4\cos{2x} & \egg{3} & -2\sin{2x} & \egg{4} & -2\cos{2x} \\ & & & & & & & \\ \egg{5} & 2\sin{2x} & \egg{6} & 2\cos{2x} & \egg{7} & 4\sin{2x} & \egg{8} & 4\cos{2x} \\ \end{array} \] $\f{\hspace*{1zw}セ\hspace*{1zw}}$,$\f{\hspace*{1zw}ツ\hspace*{1zw}}$ の解答群 \setlength{\mathindent}{0zw} \[ \begin{array}{l l l l l l l l l l} \egg{1} & >\hspace*{2zw} & \egg{2} & <\hspace*{2zw} & \egg{3} & \LEQQ\hspace*{2zw} & \egg{4} & \GEQQ\hspace*{2zw} & \egg{5} & =\hspace*{2zw} \\ \end{array} \] $\f{\hspace*{1zw}タ\hspace*{1zw}}$ の解答群 \setlength{\mathindent}{0zw} \[ \begin{array}{l l l l l l} \egg{1} & \textrm{極大または極小} & \egg{2} & \textrm{極大または最大} & \egg{3} & \textrm{極小または最小} \\ & & & & \\ \egg{4} & \textrm{極大かつ最大} & \egg{5} & \textrm{極小かつ最小} \\ \end{array} \] \end{flushleft} \end{document}