東京理科大学 理工学部 2010年度 問3

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解答作成者: 山中 晴文

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入試情報

大学名 東京理科大学
学科・方式 理工学部
年度 2010年度
問No 問3
学部 理工学部
カテゴリ 積分法 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,fleqn,papersize]{jsarticle} \usepackage{emathP} \hoffset=0pt \textwidth=420pt \voffset=-30pt \textheight=610pt \footskip=15pt \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi)} \renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}} \renewcommand{\labelenumii}{(\makebox[5.6pt]{\theenumii})} \setlength{\mathindent}{2zw} %%% 自作 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\kakkoi}{(\hspace{1.37pt}\text{i}\hspace{1.37pt})} \newcommand{\kakkoii}{(\text{ii})} \newcommand{\kakkoiii}{(\hspace{-1.41pt}\text{iii}\hspace{-1.41pt})} \newcommand{\kakkoiv}{(\hspace{-1.25pt}\text{iv}\hspace{-1.25pt})} \newcommand{\kakkov}{(\hspace{0.15pt}\text{v}\hspace{0.15pt})} \newcommand{\kakkovi}{(\hspace{-1.25pt}\text{vi}\hspace{-1.25pt})} \newcommand{\kakkoI}{[\hspace{2.6pt}I\hspace{2.6pt}]} \newcommand{\kakkoII}{[\hspace{1.3pt}I\hspace{-1pt}I\hspace{1.3pt}]} \newcommand{\kakkoIII}{[I\hspace{-1pt}I\hspace{-1pt}I]} \newcommand{\migirule}{\vspace{-20pt}\begin{flushright}\rule{1pt}{7pt}\end{flushright}} \newcommand{\CLrule}{\rule[3.5pt]{150pt}{0.3pt}\vspace{-24pt} \begin{flushright}\rule[3.5pt]{250pt}{0.3pt}\end{flushright}} \newcommand{\renrule}{\hspace{-3.5pt}\rule[3.5pt]{100pt}{0.3pt}\vspace{-24pt} \begin{flushright}\rule[3.5pt]{300pt}{0.3pt}\end{flushright}} \newcommand{\dumyeqhspace}{\hspace{31.827pt}} \newcommand{\QED}{\hspace{1zw}\rule[0pt]{4pt}{8pt}} \newcommand{\答}{ \Cdots\Cdots(答)} \def\maru#1{{\ooalign{\hfil\raise.102ex\hbox{\small #1}\/\hfil\crcr \raise.167ex\hbox{\mathhexbox 20D}}}} \newcommand{\inbe}{\def\arraystretch{0.75}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 自作終わり %%% % \def\Anscolor{red} \def\Anscolor{white} \begin{document} {\fboxrule=1pt \hspace{-3.5zw}{\LARGE \framebox{\gt{3}}}} \vspace{-1.8zw} 次の問いに答えなさい。 \vspace{1zw} \begin{enumerate}<apnenum={\leftmargin=2zw}> \item 0以上の整数$m,~ n=0,~ 1,~ 2,~ \cdots$に対し,$I$\retu(m,n)を \[ I\retu(m,n)=\dint{0}{1}x^m(1-x)^n\,dx \] で定める。 \vspace{1zw} \begin{enumerate} \item $m \geqq 1$のとき,部分積分法を用いて, \[ I\retu(m,n)=\bunsuu{m}{n+1}\dint{0}{1}x^{m-1}(1-x)^{n+1}\,dx \] が成り立つことを示しなさい。 \vspace{1zw} \item $I\retu(m,n)=\bunsuu{m\kaizyou\,n\kaizyou}{(m+n+1)\kaizyou}$を示しなさい。 \end{enumerate} \vspace{2zw} \item $f(x)$を区間\![0,\,1]\!で定義された連続関数とする。自然数$n=1,~ 2,~ 3,~ \cdots$に 対し, \\ 多項式$P_n(x)$を \[ P_n(x)=\tretuwa{k=0}{n}\kumiawase{n}{k}f\left(\bunsuu{k}{n}\right)x^k(1-x)^{n-k} \] で定める。ここで,$\kumiawase{n}{k}=\bunsuu{n\kaizyou}{k\kaizyou\,(n-k)\kaizyou}$である。 このとき, \[ \dlim{n \to \infty}\dint{0}{1}P_n(x)\,dx=\dint{0}{1}f(x)\,dx \] となることを示しなさい。 \end{enumerate} \end{document}