杏林大学 医学部 2009年度 問3

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 杏林大学
学科・方式 医学部
年度 2009年度
問No 問3
学部 医学部
カテゴリ 数列 ・ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{flushleft}  初項 $a_1=3$ と漸化式 $a_{n+1}=\displaystyle \frac{3a_n-4}{-2a_n+5}$ $(n=1,2,3,\cdots)$ で定められる数列の一般項を,以下の要領で求めてみよう.\\  $a_n=\displaystyle \frac{p_n}{q_n}$,$p_1=3$,$q_1=1$ を満たす数列を $\{p_n \}$,$\{q_n \}$ とする。列ベクトル $\vec{b_n}=\begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$ に対して \setlength{\mathindent}{5zw} \[ \vec{b}_{n+1}=A\Vec{b}_n\] が成り立つような行列 $A$ を求めると,$A=\begin{pmatrix} \f{\hspace*{1zw}ア\hspace*{1zw}} & -\f{\hspace*{1zw}イ\hspace*{1zw}} \\ -2 & \f{\hspace*{1zw}ウ\hspace*{1zw}} \end{pmatrix}$ と取ることができる.\\ これより, \setlength{\mathindent}{5zw} \[ \vec{b}_n=A^{n-1}\Vec{b}_1\hspace*{1zw}\cdots \cdots \MARU{1} \] が導かれる.\\ \hspace*{1zw}行列 $A$ は $P=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ を用いて \setlength{\mathindent}{5zw} \[ A=P\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \f{\hspace*{1zw}エ\hspace*{1zw}} \end{pmatrix}P^{-1} \] と表される.ここで, \setlength{\mathindent}{5zw} \[ P^{-1}=\frac{\f{\hspace*{1zw}オ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{1zw}カ\hspace*{1zw}}}\begin{pmatrix} 1 & \f{\hspace*{1zw}キ\hspace*{1zw}} \\ \f{\hspace*{0.5zw}クケ\hspace*{0.5zw}} & \f{\hspace*{1zw}コ\hspace*{1zw}} \end{pmatrix} \] である.これより $A^{n-1}$ を求めると, \[ A^{n-1}=\frac{\f{\hspace*{1zw}サ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{1zw}シ\hspace*{1zw}}}\begin{pmatrix} \f{\hspace*{1zw}ス\hspace*{1zw}}+\f{\hspace*{1zw}セ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}^{n-1} & \f{\hspace*{1zw}ソ\hspace*{1zw}}-2\cdot \f{\hspace*{1zw}タ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}^{n-1} \\ \f{\hspace*{1zw}チ\hspace*{1zw}}-\f{\hspace*{1zw}ツ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}^{n-1} & \f{\hspace*{1zw}テ\hspace*{1zw}}+2\cdot \f{\hspace*{1zw}ト\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}^{n-1} \end{pmatrix} \] これを式 \MARU{1} に代入し,$p_n$ と $q_n$ の比を取って一般項 $a_n$ を求めると \[ a_n=\frac{\f{\hspace*{1zw}ナ\hspace*{1zw}}+\f{\hspace*{1zw}ニ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}^{n-1}}{\f{\hspace*{1zw}ヌ\hspace*{1zw}}-\f{\hspace*{1zw}ネ\hspace*{1zw}}\hspace*{0.3zw}^{n-1}} \] となる. \end{flushleft} \end{document}