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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2000年度 |
| 問No |
問3 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
ベクトル
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小)
\def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大)
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\quad\dotfill}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\setlength{\textheight}{40\baselineskip}
\begin{document}
\h{\large \gt{第３問}}(配点 \; 20)\\
紙片の上に図1のようなひし形ABCD$_0$があり，$\text{AB}=\text{AC}=2$とする。また，線分ACの中点をOとする。この紙片を，図2のように空間の中で，ACに沿って$\DO{60}$だけ折り曲げ，点D$_0$の新しい位置をDとする。
\begin{center}
\includegraphics[width=9cm,clip]{center2000-2b-3sankou1.eps}\\
図1\\
\includegraphics[width=9cm,clip]{center2000-2b-3sankou2.eps}\\
図2
\end{center}
\vspace{1zw}
\BK{\kakkoichi}
このとき，$\Vec{OB},\,\Vec{OC},\,\Vec{OD}$についての内積を求めると
\[\h \Vns{OB}{OC}=\FBA{ア},\,\Vns{OC}{OD}=\FBA{イ},\,\Vns{OB}{OD}=\frac{\FBA{ウエ}}{\FBA{オ}}\]
となる。
\EK
\BK{\kakkoni}
$a$を$0<a<1$を満たす数とし，線分BDを$a:(1-a)$の比に内分する点Pをとる。このとき
\[\h \Vec{OP}=\SK{\FBA{カ}-\FBA{キ}}\Vec{OB}+\FBA{ク}\Vec{OD}\]
\[\h \Vec{PA}=\SK{\FBA{ケ}-\FBA{コ}}\Vec{OB}-\Vec{OC}-\FBA{サ}\Vec{OD}\]
\[\h \Vec{PC}=\SK{\FBA{シ}-\FBA{ス}}\Vec{OB}+\Vec{OC}-\FBA{セ}\Vec{OD}\]
である。したがって
\[\h \Vns{PA}{PC}=\FBA{ソ}a^2-\FBA{タ}a+\FBA{チ}\]
となる。よって，$\Vec{PA}$と$\Vec{PC}$が直交するのは
\[\h a=\frac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}},\,\frac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}}\]
のときである。$\SK{\dfrac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}と\dfrac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}}は解答の順序を問わない。}$
\EK
\end{document}
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