センター試験 数学Ⅱ・B 2000年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2000年度
問No 問3
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \h{\large \gt{第3問}}(配点 \; 20)\\ 紙片の上に図1のようなひし形ABCD$_0$があり,$\text{AB}=\text{AC}=2$とする。また,線分ACの中点をOとする。この紙片を,図2のように空間の中で,ACに沿って$\DO{60}$だけ折り曲げ,点D$_0$の新しい位置をDとする。 \begin{center} \includegraphics[width=9cm,clip]{center2000-2b-3sankou1.eps}\\ 図1\\ \includegraphics[width=9cm,clip]{center2000-2b-3sankou2.eps}\\ 図2 \end{center} \vspace{1zw} \BK{\kakkoichi} このとき,$\Vec{OB},\,\Vec{OC},\,\Vec{OD}$についての内積を求めると \[\h \Vns{OB}{OC}=\FBA{ア},\,\Vns{OC}{OD}=\FBA{イ},\,\Vns{OB}{OD}=\frac{\FBA{ウエ}}{\FBA{オ}}\] となる。 \EK \BK{\kakkoni} $a$を$0<a<1$を満たす数とし,線分BDを$a:(1-a)$の比に内分する点Pをとる。このとき \[\h \Vec{OP}=\SK{\FBA{カ}-\FBA{キ}}\Vec{OB}+\FBA{ク}\Vec{OD}\] \[\h \Vec{PA}=\SK{\FBA{ケ}-\FBA{コ}}\Vec{OB}-\Vec{OC}-\FBA{サ}\Vec{OD}\] \[\h \Vec{PC}=\SK{\FBA{シ}-\FBA{ス}}\Vec{OB}+\Vec{OC}-\FBA{セ}\Vec{OD}\] である。したがって \[\h \Vns{PA}{PC}=\FBA{ソ}a^2-\FBA{タ}a+\FBA{チ}\] となる。よって,$\Vec{PA}$と$\Vec{PC}$が直交するのは \[\h a=\frac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}},\,\frac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}}\] のときである。$\SK{\dfrac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}と\dfrac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}}は解答の順序を問わない。}$ \EK \end{document}