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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2000年度 |
| 問No |
問2 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
微分法と積分法
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\quad\dotfill}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\setlength{\textheight}{40\baselineskip}
\begin{document}
\h{\large \gt{第２問}}(配点 \; 30)\\
$a$を0でない実数とし，関数$f(x)$を
\[f(x)=3ax^2-(8a+6)x+4a+6\]
により定める。
\BK{\kakkoichi}
$b,\,u,\,v$を実数，$b\neq 0$として，$g(x)=3bx^2+ux+v$とおく。$g(x)$が$\int_{-1}^{0}g(x)dx=-6$を満たし，座標平面において，$y=g(x)$の表す放物線$C$が点$(-1,\,-9)$を通るとする。このとき$u$と$v$は$b$を用いて
\[\h u=\FBA{アイ}+\FBA{ウ},\,v=\FBA{エ}-\FBA{オ}\]
と表される。さらに，放物線$y=f(x)$と放物線$C$が，$y$軸上で共有点をもち，
その点における二つの放物線の接線が一致するならば
\[\h a=\FBA{カキ},\,b=\FBA{ク}\]
となり，その接線の方程式は
\[\h y=\FBA{ケコ}x-\FBA{サ}\]
である。
\EK
\BK{\kakkoni}
$a$を，\kakkoichi の解のみに限定せずに，0でない実数とする。関数$h(x)$を
\[\h h(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt\]
により定める。このとき$x=0$および$x=2$における$h(x)$の値と微分係数は，それぞれ
\[\h h(0)=\FBA{シ},\,h(2)=\FBA{ス}\]
\[\h h'(0)=\FBA{セ}a+\FBA{ソ},\,h'(2)=\FBA{タチ}\]
である。$0\leq x \leq2$の範囲で$h(x)$が正の値も負の値も両方とるのは
\[\h a<\frac{\FBA{ツテ}}{\FBA{ト}}\]
のときである。
\EK
\end{document}
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