慶應義塾大学 理工学部 2010年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2010年度
問No 問4
学部 理工学部
カテゴリ 複素数と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=142mm \textheight=210mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\kobox#1{{\fboxsep=.7mm\framebox[14.5mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1.7zw}{\LARGE\textbf{A\,4}} \\[4mm]\hspace*{-.7zw}% {\fboxsep=.7mm正の整数$n,\ kに対して,\ \ xの3次関数 \displaystyle \\[4mm] \hspace*{7.3zw} f(x)=2nx^3+3\Bigl(n+\frac{\,k\,}{2}\Bigr)x^2+3\Bigl( n+\frac{\,k\,}{2}+1\Bigr)x+k \\[4mm] \hspace*{-1.7zw}を考える。\ \ 3次方程式f(x)=0が相異なる3つの実数解をもつような 正の整数の組(n,\ k) \\[1mm]\hspace*{-1.7zw} を見つけたい。\\[1mm] \hspace*{-.7zw} f(x)の導関数をf'(x)とする。\ \ f(x)=0が相異なる3つの実数解を もつならば,\ \ f'(x)=0\\[1mm]\hspace*{-1.7zw}の\hspace*{.3pt}相\hspace*{.3pt} 異\hspace*{.3pt}な\hspace*{.3pt}る\hspace*{.3pt}実\hspace*{.3pt}数\hspace* {.3pt}解\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt}個\hspace*{.3pt}数\hspace*{.3pt}は\ \kobox{\paalen{ツ}}\ 個\hspace*{.5pt}で\hspace*{.5pt}な\hspace*{.5pt}け\hspace* {.5pt}れ\hspace*{.5pt}ば\hspace*{.5pt}な\hspace*{.5pt}ら\hspace*{.5pt}な \hspace*{.5pt}い。こ\hspace*{.5pt}れ\hspace*{.5pt}よ\hspace*{.5pt}り,\ \ nとkの満たす\\[1mm]\hspace*{-1.7zw}不等式\\[1.5mm]\hspace*{11.3zw} \bigl(\,\kobox{\paalen{テ}}\,\bigr)^2-k<k^2 \hfill\3dots\3dots\ \maru{1} \hspace*{10zw}\\[2mm] \hspace*{-1.7zw}が得られる。\\[1.5mm] \hspace*{-.7zw} 次\hspace*{-1pt}にg(x)\!=\hspace*{-1pt}x^3f\Bigl(\makebox[11pt] [c]{$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,x\,}$}\Bigr)と\hspace*{-.5pt}お\hspace* {-.5pt}く\hspace*{-.5pt}と,\ \,g(x)\!=0\hspace*{1pt}も\hspace*{-.5pt}相 \hspace*{-.5pt}異\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}る\makebox[9pt][c]{3}つ \hspace*{-.5pt}の\hspace*{-.5pt}実\hspace*{-.5pt}数\hspace*{-.5pt}解\hspace* {-.5pt}を\hspace*{-.5pt}も\hspace*{-.5pt}た\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}け \hspace*{-.5pt}れ\hspace*{-.5pt}ば\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}ら\hspace* {-.5pt}な\hspace*{-.5pt}い。\\[1.5mm]\hspace*{-1.7zw} これより,\ \ \maru{1}\,を得たのと同様にして,\ \ nとkの満たす不等式 \\[2mm] \hspace*{8.8zw} \bigl(k-\kobox{\paalen{ト}}\,\bigr)^2 <\bigl(\,\framebox[10mm][c]{\ \paalen{テ}\ }\,\bigr)^2+4 \hfill \3dots\3dots\ \maru{2} \hspace*{10zw}\\[2mm] \hspace*{-1.7zw}が得られる。\\[1mm] \hspace*{-.7zw} 正の整数nを与えるとき,連立不等式\,\maru{1},\ \maru{2}\,を 満たす正の整数kをすべて求めると\\[2mm] \hspace*{9.8zw} k=\kobox{\paalen{ナ}}\hspace*{1pt}-1,\ \ \fbox{\,\paalen{ナ}\,}\,,\ \ \fbox{\,\paalen{ナ}\,}\hspace*{1pt}+1 \\[2mm] \hspace*{-1.7zw}の3つである。\ \ k=\fbox{\,\paalen{ナ}\,}\ に対して,方程式 f(x)=0を考えると,それはnに無関係に\\[1.5mm]\hspace*{-1.7zw} 定まる解x=\kobox{\paalen{ニ}}\ とnを用いて表される2つの解 \\[3mm] \hspace*{12zw} x=\frac{\,-8n-9\pm\,\sqrt{\,\kobox{\paalen{ヌ}}\,}\,}{8n} \\ [3mm]\hspace*{-1.7zw}の3つの実数解をもつ。$} \end{document}