杏林大学 医学部 2010年度 問4

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 杏林大学
学科・方式 医学部
年度 2010年度
問No 問4
学部 医学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \begin{document} \begin{flushleft}  原点 O から点 $(1,\hspace*{0.5zw}0)$ へ等速で $x$ 軸上を動く点 P$(t,\hspace*{0.5zw}0)$ と,点 $(0,\hspace*{0.5zw}8)$ から原点 O へ P の 8 倍の速さで $y$ 軸上を動く点 Q がある.2 点 P, Q は同時に動きはじめるものとする.\\ \vspace*{0.5zw} (a) 線分 PQ の長さが最小になるのは $t=\displaystyle \frac{\f{\hspace*{0.5zw}アイ\hspace*{0.5zw}}}{\f{\hspace*{0.5zw}ウエ\hspace*{0.5zw}}}$ のときであり,このとき PQ$=\displaystyle \frac{\f{\hspace*{1zw}オ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{0.5zw}カキ\hspace*{0.5zw}}}\sqrt{\f{\hspace*{0.5zw}クケ\hspace*{0.5zw}}}$ となる.\\ \vspace*{0.5zw} (b) 線分 PQ 上の点 R$(x,\hspace*{0.5zw}y)$ を考える.$t$ が 0 から 1 まで変化するとき,R の各 $x$ 座標に対して $y$ 座標の\hspace*{1zw}最大値を求めると \[ y=\f{\hspace*{1zw}コ\hspace*{1zw}}(1-x^r)^{\f{サ}}\hspace*{7zw}\cdots\cdots(*) \] \hspace*{1zw}を得る.ここで $\displaystyle r=\frac{\f{\hspace*{1zw}シ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{1zw}ス\hspace*{1zw}}}$ である.\\ \vspace*{0.5zw} (c) 線分 PQ が通過する領域の面積は $\displaystyle \frac{\f{\hspace*{1zw}セ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{1zw}ソ\hspace*{1zw}}}$ である.\\ \vspace*{0.5zw} (d) 式 $(*)$ で表される曲線上の点 T のうち,原点 O にもっとも近いのは T の $x$ 座標が $\displaystyle \frac{\f{\hspace*{0.5zw}タチ\hspace*{0.5zw}}}{\f{\hspace*{0.5zw}ツテ\hspace*{0.5zw}}}$ のときで\hspace*{1zw}ある.このとき OT$=\displaystyle \frac{\f{\hspace*{1zw}ト\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{0.5zw}ナニ\hspace*{0.5zw}}}\sqrt{\f{\hspace*{1zw}ヌ\hspace*{1zw}}}$ となる. \end{flushleft} \end{document}