杏林大学 医学部 2010年度 問3

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 杏林大学
学科・方式 医学部
年度 2010年度
問No 問3
学部 医学部
カテゴリ いろいろな曲線
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \begin{document} \begin{flushleft}  式 $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\displaystyle \frac{y^2}{8}=1$ で表される楕円 C と,その内部にある点 A$\Big(-\displaystyle \frac{6}{5},\hspace*{1zw}\displaystyle \frac{3}{7}\hspace*{0.3zw}\Big)$ を通る直線との交点を P,Q とする.\\ \hspace*{1zw}楕円 C の焦点の 1 つは $(\f{\hspace*{1zw}ア\hspace*{1zw}},\hspace*{1zw}\f{\hspace*{1zw}イ\hspace*{1zw}})$ である.\\ \hspace*{1zw}点 P$(a,\hspace*{0.5zw}b)$ における楕円 C の接線 T は \setlength{\mathindent}{5zw} \[ \frac{a}{\f{\hspace*{1zw}ウ\hspace*{1zw}}}x+\frac{b}{\f{\hspace*{1zw}エ\hspace*{1zw}}}y=1 \] と表される.点 Q$(c,\hspace*{0.5zw}d)$ における楕円 C の接線と T が交点 S を持つとき,S の座標は \setlength{\mathindent}{5zw} \[ (x,\hspace*{0.5zw}y)=\Bigg(\frac{\f{\hspace*{0.5zw}オカ\hspace*{0.5zw}}}{ad-bc}b+\frac{\f{\hspace*{1zw}キ\hspace*{1zw}}}{ad-bc}d,\frac{\f{\hspace*{1zw}ク\hspace*{1zw}}}{ad-bc}a-\frac{\f{\hspace*{1zw}ケ\hspace*{1zw}}}{ad-bc}c\Bigg) \] となる.また,3 点 A,P,Q は一直線上にあるので \setlength{\mathindent}{5zw} \[ ad-bc=\frac{\f{\hspace*{1zw}コ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{1zw}サ\hspace*{1zw}}}a+\frac{\f{\hspace*{1zw}シ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{1zw}ス\hspace*{1zw}}}b-\frac{\f{\hspace*{1zw}セ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{1zw}ソ\hspace*{1zw}}}c-\frac{\f{\hspace*{1zw}タ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{1zw}チ\hspace*{1zw}}}d \] が成り立つ.したがって,点 P が楕円 C 上を一周するとき点 S の座標は \setlength{\mathindent}{5zw} \[ \frac{\f{\hspace*{0.5zw}ツテ\hspace*{0.5zw}}}{\f{\hspace*{0.5zw}トナ\hspace*{0.5zw}}}x+\frac{\f{\hspace*{1zw}ニ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{0.5zw}ヌネ\hspace*{0.5zw}}}y=1 \] を満たす. \end{flushleft} \end{document}