金沢大学 前期 2008年度 問4

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入試情報

大学名 金沢大学
学科・方式 前期
年度 2008年度
問No 問4
学部 文学部 ・ 教育学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部
カテゴリ 関数と極限
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass{jsarticle} \begin{document} \begin{flushleft} 次の問いに答えよ. (1) $a$ を定数とし,正の数からなる数列 $\{ x_n \}$ は \[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} (\sqrt{x_n+n}-\sqrt{n})=a \] \hspace*{1zw}を満たすとする.このとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{x_n}{\sqrt{n}}=2a$ が成り立つことを示せ. \vspace*{0.5zw} (2) 自然数 $L$,$n$ に対して \[ \sqrt{L+n+1}-\sqrt{n+1}<\displaystyle \frac{1}{2}\hspace*{0.3zw}\displaystyle \sum_{k=1}^L \displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+n}}<\sqrt{L+n}-\sqrt{n} \] \hspace*{1zw}が成り立つことを示せ. (3) $b$ は定数で,$b>1$ とする.自然数 $n$ に対して,集合 \[ \Bigg\{ L\hspace*{0.2zw}\Bigg|\hspace*{0.2zw}L は \displaystyle \sum_{k=1}^L \displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+n}}<b を満たす自然数\Bigg \} \] \hspace*{1zw}の要素の個数を $L_n$ とする.このとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{L_n}{\sqrt{n}}=b$ が成り立つことを示せ. \end{flushleft} \end{document}