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入試情報
大学名 |
金沢大学 |
学科・方式 |
前期 |
年度 |
2008年度 |
問No |
問4 |
学部 |
文学部 ・ 教育学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部
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カテゴリ |
関数と極限
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状態 |
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\begin{document}
\begin{flushleft}
次の問いに答えよ.
(1) $a$ を定数とし,正の数からなる数列 $\{ x_n \}$ は
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} (\sqrt{x_n+n}-\sqrt{n})=a \]
\hspace*{1zw}を満たすとする.このとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{x_n}{\sqrt{n}}=2a$ が成り立つことを示せ.
\vspace*{0.5zw}
(2) 自然数 $L$,$n$ に対して
\[ \sqrt{L+n+1}-\sqrt{n+1}<\displaystyle \frac{1}{2}\hspace*{0.3zw}\displaystyle \sum_{k=1}^L \displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+n}}<\sqrt{L+n}-\sqrt{n} \]
\hspace*{1zw}が成り立つことを示せ.
(3) $b$ は定数で,$b>1$ とする.自然数 $n$ に対して,集合
\[ \Bigg\{ L\hspace*{0.2zw}\Bigg|\hspace*{0.2zw}L は \displaystyle \sum_{k=1}^L \displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+n}}<b を満たす自然数\Bigg \} \]
\hspace*{1zw}の要素の個数を $L_n$ とする.このとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{L_n}{\sqrt{n}}=b$ が成り立つことを示せ.
\end{flushleft}
\end{document}