金沢大学 前期 2008年度 問1

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入試情報

大学名 金沢大学
学科・方式 前期
年度 2008年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 教育学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass{jsarticle} \usepackage{amsmath} \begin{document} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \begin{flushleft}  自然数 $n$ に対して,2 次正方行列 $A_n$ を \[ A_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\hspace*{2zw}A_{n+1}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}A_n\hspace*{1.5zw}(n \GEQQ 1) \] により定める.また,2 次正方行列 $B_n$ は \[ B_{n+1}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}B_n-\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\hspace*{1.5zw}(n \GEQQ 1) \] を満たすとする.次の問いに答えよ. (1) 数学的帰納法を用いて \[ A_{n+1}=\begin{pmatrix} 2^{n-1} & 2^{n-1}+3^{n-1} \\ 0 & 3^{n-1} \end{pmatrix}\hspace*{1.5zw}(n \GEQQ 1) \] \hspace*{1zw}が成り立つことを示せ. (2) ある 2 次正方行列 $C$ に対して,$C=B_n-A_n$ がすべての $n$ について成り立つとする.このとき,$C$ を\hspace*{1zw}求めよ. (3) (2) の条件を満たす $B_n$ のうち,逆行列をもたないものは $B_1$ に限ることを示せ. \end{flushleft} \end{document}