センター試験 数学Ⅱ・B 2001年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2001年度
問No 問4
学部
カテゴリ 複素数と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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1
現行課程範囲外です。
山田 慶太郎 さん 2010/03/01 01:25:32 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\ZK#1{\left|#1\right|} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ \begin{shomon} 方程式 \[z^3=2+2i\Cdots\maruichi\] を解こう。\\ \quad 複素数$2+2i$を極形式で表すと \[2+2i=\FBA{ア}\dsqrt{\FBA{イ}}\SK{\cos\FBA{ウエ}\Shisu{\circ}+i\sin\FBAS{ウエ}\Shisu{\circ}\,}\] となる。 \[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\] とおき,\mruichi を満たす$r,\,\theta\;(r>0,\,\DO{0}\leq\theta<\DO{360})$を求めると \[r=\dsqrt{\FBA{オ}}\] \[\theta=\FBA{カキ}\Shisu{\circ},\,\FBB{クケコ}\Shisu{\circ},\,\DO{255}\] となる。\\ \quad したがって,複素数平面上の第2象限にある\mruichi の解は \[-\FBA{サ}+i\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} 次に方程式 \[z^6-4z^3+8=0\Cdots\maruni\] の解について考えよう。\\ \quad \mruni は$(z^3-2)^2=-\FBA{シ}$,すなわち \[z^3=2\pm\FBA{ス}i\] となるから,\kakkoichi と同様に考えると,第2象限にある\mruni の解は\kakkoichi で求めた \[-\FBAS{サ}+i\] と \[\frac{\FBA{セ}-\dsqrt{\FBA{ソ}}}{\FBA{タ}}+\frac{\FBA{チ}+\dsqrt{\FBA{ツ}}}{\FBA{テ}}i\] の2個であり,他の解は第1象限に1個,第3象限に\FBA{ト}個,第4象限に\FBA{ナ}個存在する。 \end{shomon} \end{document}