センター試験 数学Ⅱ・B 2001年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2001年度
問No 問3
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第3問}}(配点 \; 20)\\ 四面体の四つの頂点を,O,L,M,Nとする。線分OLを$2:1$に内分する点をPとし,線分MNの中点をQとする。$a$と$b$を1より小さい正の実数とする。線分ONを$a:(1-a)$に内分する点をRとし,線分LMを$b:(1-b)$に内分する点をSとする。$\vec{\ell}=\Vec{OL},\,\vec{m}=\Vec{OM},\,\vec{n}=\Vec{ON}$とおく。 \begin{shomon} $\Vec{RS}=\SK{\FBA{ア}-\FBA{イ}}\vec{\ell}+\FBA{ウ}\vec{m}-\FBA{エ}\vec{n}$ \[\hspace{1.5pt}\Vec{RP}=\frac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}}\vec{\ell}-\FBA{キ}\vec{n}\] \[\hspace{1.5pt}\Vec{RQ}=\frac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}\vec{m}+\SK{\frac{\FBA{コ}}{\FBA{サ}}-\FBA{シ}}\vec{n}\] が成立する。 \end{shomon} \begin{shomon} 以下$\vec{\ell}=(1,\,0,\,0),\,\vec{m}=(0,\,1,\,0),\,\vec{n}=(0,\,0,\,1)$の場合を考える。\\ \quad 点Sが3点P,Q,Rの定める平面上にあるとする。このとき,$\Vec{RS}$は実数$x$と$y$を用いて \[\Vec{RS}=x\Vec{RP}+y\Vec{RQ}\] と表せる。これより \[x=\frac{\FBA{ス}}{\FBA{セ}}(1-b),\,y=\FBA{ソ}b\] となり,$a$と$b$は \[\FBA{タチ}+\FBA{ツ}-\FBA{テト}=0\] を満たすことがわかる。さらに,$\Vec{RP}$と$\Vec{RQ}$が垂直になるのは \[a=\frac{\FBA{ナ}}{\FBA{ニ}},\,b=\frac{\FBA{ヌ}}{\FBA{ネ}}\] のときであり,このとき$\Vec{PQ}$と$\Vec{RS}$の内積は \[\Vns{PQ}{RS}=\frac{\FBB{ノハヒ}}{\FBA{フヘ}}\] となる。 \end{shomon} \end{document}