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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2001年度 |
| 問No |
問2 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
三角関数 ・ 微分法と積分法
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第２問}}(配点 \; 30)\\
\BK{\kagiichi}
座標平面において放物線$y=x^2$を$C$とする。第1象限の点P$(a,\,a^2)$における$C$の接線$\ell$と$y$軸との交点Qの座標は
\[\h\SK{0,\,\FBA{ア}a^{\;\FBD{イ}}\;}\]
である。$\ell$と$y$軸のなす角が$\DO{30}$となるのは
\[\h a=\frac{\dsqrt{\FBA{ウ}}}{\FBA{エ}}\]
のときである。このとき線分PQの長さは$\dsqrt{\FBA{オ}}$であり，Qを中心とし線分PQを半径とする円と放物線$C$とで囲まれてできる二つの図形のうち小さい方の面積は
\[\h\frac{\pi}{\FBA{カ}}-\frac{\dsqrt{\FBA{キ}}}{\FBA{ク}}\]
である。
\EK
\vspace{2mm}
\BK{\kagini}
関数$y=3\sin\theta-2\sin^3\theta\;(\DO{0}\leq\theta\leq\DO{210})\;$の最大値と最小値を求めたい。そのため$\sin\theta=x$とおくと，$y$は
\[\h y=3x-2x^3\]
と表される。$x$の動く範囲は
\[\h\frac{\FBA{ケコ}}{\FBA{サ}}\leq x \leq\FBA{シ}\]
であるから，$y$は$x=\dfrac{1}{\dsqrt{\FBA{ス}}}$のとき最大値$\dsqrt{\FBA{セ}}$をとり，$x=\dfrac{\FBA{ソタ}}{\FBA{チ}}$のとき最小値$x=\dfrac{\FBA{ツテ}}{\FBA{ト}}$をとる。\\
\quad
$\theta$の関数としては，$y$は
\[\h\theta=\FBA{ナニ}\Shisu{\circ}\;および\;\theta=\FBB{ヌネノ}\Shisu{\circ}のとき最大\]
\[\h\theta=\FBB{ハヒフ}\Shisu{\circ}のとき最小\]
である。
\EK
\end{document}
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