センター試験 数学Ⅱ・B 2001年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2001年度
問No 問2
学部
カテゴリ 三角関数 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第2問}}(配点 \; 30)\\ \BK{\kagiichi} 座標平面において放物線$y=x^2$を$C$とする。第1象限の点P$(a,\,a^2)$における$C$の接線$\ell$と$y$軸との交点Qの座標は \[\h\SK{0,\,\FBA{ア}a^{\;\FBD{イ}}\;}\] である。$\ell$と$y$軸のなす角が$\DO{30}$となるのは \[\h a=\frac{\dsqrt{\FBA{ウ}}}{\FBA{エ}}\] のときである。このとき線分PQの長さは$\dsqrt{\FBA{オ}}$であり,Qを中心とし線分PQを半径とする円と放物線$C$とで囲まれてできる二つの図形のうち小さい方の面積は \[\h\frac{\pi}{\FBA{カ}}-\frac{\dsqrt{\FBA{キ}}}{\FBA{ク}}\] である。 \EK \vspace{2mm} \BK{\kagini} 関数$y=3\sin\theta-2\sin^3\theta\;(\DO{0}\leq\theta\leq\DO{210})\;$の最大値と最小値を求めたい。そのため$\sin\theta=x$とおくと,$y$は \[\h y=3x-2x^3\] と表される。$x$の動く範囲は \[\h\frac{\FBA{ケコ}}{\FBA{サ}}\leq x \leq\FBA{シ}\] であるから,$y$は$x=\dfrac{1}{\dsqrt{\FBA{ス}}}$のとき最大値$\dsqrt{\FBA{セ}}$をとり,$x=\dfrac{\FBA{ソタ}}{\FBA{チ}}$のとき最小値$x=\dfrac{\FBA{ツテ}}{\FBA{ト}}$をとる。\\ \quad $\theta$の関数としては,$y$は \[\h\theta=\FBA{ナニ}\Shisu{\circ}\;および\;\theta=\FBB{ヌネノ}\Shisu{\circ}のとき最大\] \[\h\theta=\FBB{ハヒフ}\Shisu{\circ}のとき最小\] である。 \EK \end{document}