早稲田大学 政治経済学部 2003年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 政治経済学部
年度 2003年度
問No 問3
学部 政治経済学部
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=162mm \textheight=210mm \topmargin=-15mm \oddsidemargin=-1mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}\textbf{問3}\quad 次の空欄にあてはまる0以上の数値または 式を解答欄に記入せよ。\\[4mm]% 次のルールで1つのサイコロを繰り返して投げる\raisebox{1pt}{:}\\[1mm]% \hspace*{3zw}\makebox[1zw][c]{5}以上の目が続けて2回出たら,このサイコロ投げを やめる\\[1mm]\hspace*{3zw}それ以外の場合は,サイコロ投げを続ける。$ \\[1mm] このとき,\ \ n回目に5以上の目が出て,かつ\ (n\!+\!1)\ 回目のサイコロ投げを 続ける確率を\ a_n\ とおき,\\[1mm] n回目に4以下の目が出て,\ \ (n\!+\!1)\ 回目 のサイコロ投げを行う確率を\ b_n\ とおく。\\[4mm] \hspace*{2.8zw} n=1\,,\ \ 2のときは\ a_1=\framebox[10mm][c]{\textgt{ア}}\,, \ \,b_1=\framebox[10mm][c]{\textgt{イ}}\,,\ \,a_2=\framebox[10mm][c] {\textgt{ウ}}\,,\ \,{b_2=\framebox[10mm][c]{\textgt{エ}}\ である。} \\[4mm] \,1以上のnに対して,関係式 \\[4mm] \hspace*{3zw} (\makebox[1zw][c]{A})\quad a_{n+1}\hspace*{-1pt} =\framebox[10mm][c]{\textgt{オ}}\!\times\!a_n\!+\framebox[10mm][c] {\textgt{カ}}\!\times\!b_n,\ \ b_{n+1}\hspace*{-1pt}=\framebox[10mm][c] {\textgt{キ}}\!\times\!a_n\!+\framebox[10mm][c]{\textgt{ク}}\!\times\!b_n \\[1mm]\hspace*{9zw} (n=1\,,\ \,2\,,\ \3dots\3dots) \\[3mm] が成り立つ。\\[4mm] また,\ \,(\makebox[1zw][c]{A})\ からa_n,\ a_{n\hspace*{-.5pt}+\hspace* {-.5pt}1},\ a_{n\hspace*{-.5pt}+\hspace*{-.5pt}2}\,の関係式を導くと,\\[4mm] \hspace*{3zw} (\makebox[1zw][c]{B})\quad a_{n+2}-\framebox[10mm][c]{\textgt {ケ}}\hspace*{-1pt}\times\!a_{n+1}-\framebox[10mm][c]{\textgt{コ}}\hspace* {-1pt}\times\!a_n\hspace*{-1pt}=0 \quad (n=1\,,\ \,2\,,\ \3dots\3dots) \\[4mm] となる。ここで,\ \ t^2-\framebox[10mm][c]{\textgt{ケ}}\,t-\framebox[10mm] [c]{\textgt{コ}}=0の2つの解\,\alpha,\ \beta=\dfrac{\ \framebox[10mm][c] {\textgt{サ}}\pm\sqrt{\,\framebox[10mm][c]{\textgt{シ}}\ }\ }{\framebox[10mm] [c]{\textgt{ス}}}\ (\alpha>\beta)\\[2mm]である。\ \,(\makebox[1zw][c]{B})は\ a_{n+2}-(\alpha+\beta)\times a_{n+1}+\alpha\beta\times a_n=0と表すことができるから,\\[4mm] \hspace*{3zw} {a_{n+2}-\alpha\times a_{n+1}=\framebox[10mm][c]{\textgt{セ}} \times(a_{n+1}-\alpha\times a_n),\ \, a_{n+2}-\beta\times a_{n+1} =\framebox[10mm][c]{\textgt{ソ}}\times(a_{n+1}-\beta\times a_n)} \\[2mm] よって,\\[1mm]\hspace*{3zw} (\makebox[1zw][c]{C}) \quad a_{n+1}-\alpha\times a_n=\framebox[10mm][c] {\textgt{タ}}\times\beta^n,\ \ a_{n+1}-\beta\times a_n=\framebox[10mm][c] {\textgt{チ}}\times\alpha^n \,\ (n=1\,,\,2\,,\3dots\3dots) \\[4mm] が成り立つ。\\[4mm] \,(\makebox[1zw][c]{C})\quad より,\ \,\alpha,\ \beta\,を用いてa_n\,を表すと\\ [5mm]\hspace*{3zw} a_n=\framebox[10mm][c]{\textgt{ツ}} \\[4mm] となる。\ \ \framebox[10mm][c]{\textgt{ツ}}\ を用いて\ \,(n\!+\!1)\ \,回目で サイコロ投げをやめる確率P_{n\hspace*{-.5pt}+\hspace*{-.5pt}1}\,を\, \alpha,\ \beta\,で表せば \\[4mm] \hspace*{3zw} P_{n\hspace*{-.5pt}+\hspace*{-.5pt}1}=\framebox[10mm][c] {\textgt{テ}}\times a_n=\framebox[10mm][c]{\textgt{ト}} \\[4mm] となることが分かる。$ \end{document}