慶應義塾大学 薬学部 2010年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 薬学部
年度 2010年度
問No 問1
学部 薬学部(2008年以降)
カテゴリ 図形と計量 ・ 確率 ・ 式と証明 ・ 複素数と方程式 ・ 指数関数と対数関数 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=154mm \textheight=210mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\kybox#1{\framebox[9.8mm][c]{(\hspace*{2.5pt}#1\hspace*{2.5pt})}} \def\ky2box#1#2{\framebox[17mm][c]{(\hspace*{2.5pt}#1\hspace*{2.5pt})\hspace* {1.5pt}(\hspace*{2.5pt}#2\hspace*{2.5pt})}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-3.1zw}\raisebox{-1pt}{\Large〔\makebox[1.1zw][c]{\textbf{I}}〕}% {\fboxrule=.8pt\fboxsep=.7mm\ 以下の問の\ \raisebox{1pt}{\framebox[9mm][c] {\small(\,1\,)}}\,~\,\raisebox{1pt}{\framebox[9mm][c]{\small(42)}}\ に当て はまる適切な数値またはマイナス符号\paalen{\raisebox{.5pt}{$-$}}を マークしなさい. $ \\[5mm]% \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{(1)} 方程式\ \ \ x^4-4x^3-16x^2+8x+4=0 \ \ \ \3dots\3dots\ \maru{1} \quad がある.\displaystyle \\[5mm] \hspace*{1zw}(\makebox[1.7mm][c]{i})\ \ \,x-\frac{\raisebox{-.5mm}{2}}{\ x\ }=t \ \ とおくとき,\ \ \maru{1}\,をtの式で表すと,\\[4mm]\hspace*{5zw} t^2-\,\kybox{1}\hspace*{4pt}t-\,\ky2box{2}{3}\,=0\ \ である.\\[4mm] \hspace*{1zw}(\makebox[1.7mm][c]{i\hspace*{-.5pt}i})\ \ \,\maru{1}\,の方程式の 解のうち,最も大きなものは\ \ \kybox{4}+\sqrt{\ \ky2box{5}{6}\ }\ \ である.\\ [10mm]\hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{(2)}\,1つのさいころを2回投げて,\ \ 1回目 に出た目の数をa,\ \ 2回目に出た目の数をbとする. \\[1mm] 円Cの方程式を\ \ x^2\makebox[15pt][c]{+}y^2\makebox[15pt][c]{+}ax\makebox[15pt] [c]{+}by\makebox[15pt][c]{$-$}4=0\ \ とするとき,\\[2mm] \hspace*{1zw}(\makebox[1.7mm][c]{i})\ \ \,円Cの半径が3である確率は\, \frac{\kybox{7}}{\ \ky2box{8}{9}\ }\,である.\\[2mm] \hspace*{1zw}(\makebox[1.7mm][c]{i\hspace*{-.5pt}i})\ \ \,円Cの半径が3以上で ある確率は\ \frac{\,\framebox[17mm][c]{(10)\hspace*{1pt}(11)}\,} {\framebox[17mm][c]{(12)\hspace*{1pt}(13)}}\ である.\\[10mm] \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{(3)} 円\mathrm{Oとこれに内接する三角形ABCがあ り,\ \,AB\hspace*{2.5pt}\raisebox{.5pt}{=}\hspace*{3pt}2,\ \,BC\hspace*{2.5pt} \raisebox{.5pt}{=}\hspace*{3pt}3,\ \,\cos\angle\hspace*{1pt}ABC}\, \raisebox{.5pt}{$=\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 6\ }$}\,である.\\[1.5mm]円 \mbox{OのBを含まない弧AC上に動点Pがある.ただし,PはA,\ \ C}とは一致しない.\\ [2mm]\hspace*{1zw}(\makebox[1.7mm][c]{i})\ \ \,\mathrm{AP\hspace*{2.5pt} \raisebox{.5pt}{=}\hspace*{2.5pt}1のとき,\ \ \triangle ACP}の面積は\ \frac{\,\sqrt{\ \framebox[17mm][c]{(14)\hspace*{1pt}(15)}\ }\,} {\framebox[9.8mm][c]{(16)}}\ である.\\[2mm] \hspace*{1zw}(\makebox[1.7mm][c]{i\hspace*{-.5pt}i})\ \ \,\triangle\mbox{ACPの 面積が最大となるとき,BP}の長さは\ \frac{\ \framebox[9.8mm][c]{(17)}\, \sqrt{\ \framebox[17mm][c]{(18)\hspace*{1pt}(19)}\ }\,}{\framebox[9.8mm][c] {(20)}}\ である.$ \newpage\noindent \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{(4)}$\ 2次方程式\ \ x^2\makebox[15pt][c]{+}t^2 x \makebox[15pt][c]{$-$}2t=0\ \,\paalen{\,tは正の定数}\ \,の2つの解を\,\alpha,\ \beta\,として,\displaystyle \\[3mm] P=\int_{-1}^{\hspace*{1pt}2} \biggl\{\biggl(x+\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ \alpha^2}\biggr)\biggl(x+\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ \beta^2}\biggr) +\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,\alpha\beta\,}\biggr\}\,dx\ \ とする.\\[5mm] \hspace*{1zw}(\makebox[1.7mm][c]{i})\ \ \,Pをtの式で表すと,\ \ P=\framebox [9.8mm][c]{(21)}+\frac{\framebox[9.8mm][c]{(22)}}{\ \framebox[9.8mm][c]{(23)}\ }\,\Biggl(t^2+\frac{\ \framebox[9.8mm][c]{(24)}\ }{t^2}\Biggr)\ \ である.\\ [5mm]\hspace*{1zw}(\makebox[1.7mm][c]{i\hspace*{-.5pt}i})\ \ \,Pは\ \ t= \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{7}4]{\ \framebox[9.8mm][c]{(25)}\ }\ のとき,\ \ 最 小値\ \ \framebox[9.8mm][c]{(26)}+\frac{\ \framebox[9.8mm][c]{(27)}\,\sqrt{\ \framebox[9.8mm][c]{(28)}\ }\,}{\framebox[9.8mm][c]{(29)}}\ \ をとる.\\[10mm] \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{(5)}\, xy=4,\ \,x\geqq\frac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\ 2\ },\ \,y\geqq 1\ \ を満たす実数x,\ yについて,\\[3mm] Q=\Bigl(\log\raisebox{-2pt}{$_{0.5}$}\,x\Bigr)^{\!3}+\Bigl(\log\raisebox{-2pt} {$_{0.5}$}\,y-1\Bigr)^{\!3}\ \ とする.\\[5mm] \hspace*{1zw}(\makebox[1.7mm][c]{i})\ \ \,Qは,\ \ x=\framebox[9.8mm][c]{(30)} \,\sqrt{\ \framebox[9.8mm][c]{(31)}\ }\,,\ \,y=\sqrt{\ \framebox[9.8mm][c] {(32)}\ }\ \ のとき,最大値\ \,\frac{\ \framebox[24mm][c]{(33)\hspace*{1pt}% (34)\hspace*{1pt}(35)}\ }{\framebox[9.8mm][c]{(36)}} \\ \qquad をとる.\\[4mm] \hspace*{1zw}(\makebox[1.7mm][c]{i\hspace*{-.5pt}i})\ \ \,Qは,\ \ x=\frac{\ \framebox[9.8mm][c]{(37)}\ }{\framebox[9.8mm][c]{(38)}}\,,\ \, y=\framebox[9.8mm][c]{(39)}\ \,のとき,最小値\ \,\framebox[24mm][c] {(40)\hspace*{1pt}(41)\hspace*{1pt}(42)}\ \,をとる.$} \end{document}