同志社大学 全学部<理> 2010年度 問1

解答を見る

解答作成者: 中瀬古 佳史

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 同志社大学
学科・方式 全学部<理>
年度 2010年度
問No 問1
学部 理工学部 ・ 生命医科学部 ・ 文化情報学部<理>
カテゴリ 微分法 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。

\documentclass[a4j,11pt]{jsarticlek} \usepackage{emath,emathMw,emathP,emathPp} \makeatletter \let\emdfrac\dfrac \let\emmod\mod \let\emdegreee\degree \let\emnagamaru\nagamaru \let\emMaru\Maru \let\dfrac\@undefined \let\mod\@undefined \let\degree\@undefined \let\nagamaru\@undefined \let\Maru\@undefined \makeatother \usepackage{ceo} % ここから \let\dfrac\emdfrac \let\mod\emmod \let\degreee\emdegree \let\nagamaru\emnagamaru \let\Maru\emMaru \setlength{\topmargin}{-5.4truemm} \setlength{\headheight}{0truemm}% ヘッダーの高さを確保 \setlength{\headsep}{0zh}% ヘッダーと本文領域の幅を確保 \setlength{\textheight}{257truemm}% その分,本文領域を低くする \setlength{\footskip}{10truemm} \setlength{\oddsidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\evensidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\marginparwidth}{0truemm} \setlength{\marginparsep}{0truemm} \setlength{\textwidth}{170truemm} \renewcommand{\baselinestretch}{1.1} \enumSep{\topsep=1pt\parskip=0pt\parsep=0pt\itemsep=1pt} \def\syutten#1#2{\hfill{}(#1 \,\, #2)} \def\syuttenn#1{\hfill{} (#1)} \def\h25{\hspace{.25zw}} \def\mannaka#1{\hfill{} #1 \hfill{}} \def\betumath#1{\hspace{3zw} #1} \def\douti{ \,\, \doti \,\,} \def\fb3{\fbox{   }} \begin{document} \noindent{\bf ※ すべての問題を以下に記す.} \begin{mondai}\h25 次の \fb3 に適する数を,解答用紙の同じ記号のついた \fb3 の中に記入せよ. \begin{shomon} 微分して \\ \mannaka{$\bunsuu{d}{dx}\log{(2x+\sqrt{4x^2+1})}=\bunsuu{\fb3}{\sqrt{4x^2+1}}$} \\ \mannaka{$\bunsuu{d}{dx}(x\sqrt{4x^2+1})=2\sqrt{4x^2+1}-\bunsuu{\fb3}{\sqrt{4x^2+1}}$} \\ となる.これを利用すれば,\\ \mannaka{$\dint{0}{1}\sqrt{4x^2+1}\,dx=\fb3$} \\ である. \end{shomon} \begin{shomon} 連続関数 $f(x)$ が関係式 \\ \mannaka{$f(x)=\bunsuu{e^{2x}}{2(e-1)}\dint{0}{1}e^{-y}f(y)\,dy+\dint{0}{\sfrac{1}{2}}f(y)\,dy+\dint{0}{\sfrac{1}{2}}\sin^2{(\pi y)}\,dy$} \\ をみたすとき,$f(x)$ は次のようにして決定できる.まず,\\ \mannaka{$\dint{0}{\sfrac{1}{2}}\sin^2{(\pi y)}\,dy=\fb3$} \\ である.次に,\\ \mannaka{$f(x)=Ae^{2x}+B \,\,\,(A,\,\,Bは定数)$} \\ とおくと,\\ \mannaka{$\dint{0}{1}e^{-y}f(y)\,dy=\fb3 A+\fb3 B$,} \\ \mannaka{$\dint{0}{\sfrac{1}{2}}f(y)\,dy=\fb3 A+\fb3 B$} \\ である.\\ したがって,上の関係式から,$A,\,\,B$ についての連立1次方程式を得る.その解を求めると,\\ \mannaka{$A=\fb3,\quad B=\fb3$} \\ となる. \end{shomon} \end{mondai} \bigskip \begin{mondai}\h25 座標空間内の互いに異なる4点A,B,C,Dについて $\abs{\Vec{AC}}=\abs{\Vec{BD}}$ が成立しているとする.\\ また,線分AB,CD,AD,BCの中点をそれぞれM,N,K,Lとする.ただし,MとN,およびKとLはそれぞれ異なる点である.次の問いに答よ. \begin{shomon} $\Vec{MN}$ を $\Vec{AC}$ と $\Vec{BD}$ を用いて表せ. \end{shomon} \begin{shomon} 内積 $\Vec{MN} \cdot (\Vec{AC}-\Vec{BD})$ を計算せよ. \end{shomon} \begin{shomon} $\Vec{MN}$ と $\Vec{AC}$ のなす角 $\alpha \,\, (0 \leq \alpha \leq \pi)$ と $\Vec{MN}$ と $\Vec{BD}$ のなす角 $\beta \,\,(0 \leq \beta \leq \pi)$ が等しいことを示せ. \end{shomon} \begin{shomon} $\Vec{MN}$ と $\Vec{KL}$ のなす角を計算せよ. \end{shomon} \end{mondai} \bigskip \begin{mondai}\h25 行列 $A,\,\,B,\,\,E,\,\,O$ を \\ \mannaka{$A=\mat[2,-1,-2,3],\,\,\,B=\mat[0,1,0,0],\,\,\,E=\mat[1,0,0,1],\,\,\,O=\mat[0,0,0,0]$} \\ とする.次の問いに答えよ. \begin{shomon} 等式 $A^2-5A+4E=O$ が成立することを示せ. \end{shomon} \begin{shomon} 正の2実数 $x,\,\,y$ に対し $Z=xA+yE$ とする.$Z^2=A$ が成立するように $x,\,\,y$ を定めよ. \end{shomon} \begin{shomon} 任意の2次の正方行列 $W$ について,等式 $BW=WB$ が成立すれば,$W=uB+vE \,\,(u,\,\,v は実数)$ と表せることを示せ. \end{shomon} \begin{shomon} 等式 $Y^2=B$ をみたす2次の正方行列 $Y$ は存在しないことを示せ. \end{shomon} \end{mondai} \bigskip \begin{mondai}\h25 関数 $f_n(x) \,\,(n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ を \\ \mannaka{$f_n(x)=1+\retuwa{k=1}{2n}(-x^2)^k$} \\ と定める.次の問いに答えよ. \begin{shomon} $0<x<1$ である $x$ について $\dlim{n \to \infty}\,f_n(x)$ を計算せよ. \end{shomon} \begin{shomon} $\dint{0}{\sfrac{1}{\sqrt{3}}}\bunsuu{dx}{1+x^2} \,dx$ を計算せよ. \end{shomon} \begin{shomon} $n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots$ に対して次の不等式が成立することを示せ.\\ \mannaka{$0<\dint{0}{\sfrac{1}{\sqrt{3}}}\left( f_n(x)-\bunsuu{1}{1+x^2}\right)\,dx < \bunsuu{1}{4n+3}\left( \bunsuu{1}{\sqrt{3}}\right)^{4n+3}$} \\ \vspace{-1zw} \end{shomon} \begin{shomon} $\dint{0}{\sfrac{1}{\sqrt{3}}}f_n(x)=\bunsuu{1}{\sqrt{3}}+\retuwa{k=1}{2n}\bunsuu{(-1)^k}{2k+1}\left( \bunsuu{1}{\sqrt{3}}\right)^{2k+1}$ が成立することを示せ. \end{shomon} \begin{shomon} $\retuwa{k=1}{\infty}\bunsuu{(-1)^k}{2k+1}\left( \bunsuu{1}{3}\right)^k$ を計算せよ. \end{shomon} \end{mondai} \end{document}