同志社大学 全学部<理> 2009年度 問1

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解答作成者: 中瀬古 佳史

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入試情報

大学名 同志社大学
学科・方式 全学部<理>
年度 2009年度
問No 問1
学部 理工学部 ・ 生命医科学部 ・ 文化情報学部<理>
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j,11pt]{jsarticlek} \usepackage{emath,emathMw,emathP,emathPp} \makeatletter \let\emdfrac\dfrac \let\emmod\mod \let\emdegreee\degree \let\emnagamaru\nagamaru \let\emMaru\Maru \let\dfrac\@undefined \let\mod\@undefined \let\degree\@undefined \let\nagamaru\@undefined \let\Maru\@undefined \makeatother \usepackage{ceo} % ここから \let\dfrac\emdfrac \let\mod\emmod \let\degreee\emdegree \let\nagamaru\emnagamaru \let\Maru\emMaru \setlength{\topmargin}{-5.4truemm} \setlength{\headheight}{0truemm}% ヘッダーの高さを確保 \setlength{\headsep}{0zh}% ヘッダーと本文領域の幅を確保 \setlength{\textheight}{257truemm}% その分,本文領域を低くする \setlength{\footskip}{10truemm} \setlength{\oddsidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\evensidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\marginparwidth}{0truemm} \setlength{\marginparsep}{0truemm} \setlength{\textwidth}{170truemm} \renewcommand{\baselinestretch}{1.1} \enumSep{\topsep=1pt\parskip=0pt\parsep=0pt\itemsep=1pt} \def\syutten#1#2{\hfill{}(#1 \,\, #2)} \def\syuttenn#1{\hfill{} (#1)} \def\h25{\hspace{.25zw}} \def\mannaka#1{\hfill{} #1 \hfill{}} \def\betumath#1{\hspace{3zw} #1} \def\douti{ \,\, \doti \,\,} \def\fb3{\fbox{   }} \begin{document} \noindent{\bf ※ すべての問題を以下に記す.} \begin{mondai}\h25 次の \fb3 に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた \fb3 の中に記入せよ. \begin{shomon} 3次関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ が $\dlim{x \to 1}\bunsuu{f(x)}{x^2-1}=4$,$\dlim{x \to -1}\bunsuu{f(x)}{x^2-1}=2$ をみたすとき,定数 $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d$ の値は,$a=$ \fb3,$b=$ \fb3,$c=$ \fb3,$d=$ \fb3 である. \end{shomon} \begin{shomon} $\bunsuu{x-1}{x^3+1}=\bunsuu{\alpha x+\beta}{x^2-x+1}+\bunsuu{\gamma}{x+1}$ をみたす定数 $\alpha,\,\,\beta,\,\,\gamma$ を求めると,$\alpha=$ \fb3,$\beta=$ \fb3,$\gamma=$ \fb3 である.よって,$C$ を積分定数として,$\dint{}{}\bunsuu{x-1}{x^3+1}=\bunsuu{1}{3}\log\left( \fb3 \right)+C$ となる. \end{shomon} \begin{shomon} $f(x)=e^{x^2}$ の第2次導関数は $f''(x)=\left(\fb3 \right)e^{x^2}$ であり,第4次導関数は $f^{(4)}(x)=\left(\fb3 \right)e^{x^2}$ である. \end{shomon} \end{mondai} \bigskip \begin{mondai}\h25 次の \kakkoichi,\kakkoni の問いに答えよ. \begin{shomon} $F(x)=\bunsuu{1}{2}x+\dint{0}{x}(t-x)\sin{t}\,dt$ とおく. \begin{shimon} 導関数 $F'(x)$ および第2次導関数 $F''(x)$ を求めよ. \end{shimon} \begin{shimon} $0 \leq x \leq \pi$ における $F(x)$ の最大値と最小値を求めよ. \end{shimon} \end{shomon} \begin{shomon} $E$ を2次の単位行列として,2次の正方行列 $A=\mat[a,b,b,c]$ が $A^2=E$ をみたすとする.ただし,$a,\,\,b,\,\,c$ は実数であり,$b>0$ とする. \setcounter{shimonbango}{0} \begin{shimon} $a$ の値が取り得る範囲を求めよ.また,$a$ の値がその範囲にあるとき,$b$ および $c$ を $a$ で表せ. \end{shimon} \begin{shimon} $A \tvec[x,1]=-\tvec[x,1]$ をみたす $x$ を $a$ で表せ. \end{shimon} \end{shomon} \end{mondai} \bigskip \begin{mondai}\h25 定積分 $I_n=\dint{0}{\sfrac{\pi}{4}}\bunsuu{dx}{(\cos{x})^n} \,\, (n=0,\,\,\pm 1,\,\,\pm 2,\,\,\cdots)$ について次の問いに答えよ. \begin{shomon} $I_0,\,\,I_{-1},\,\,I_{2}$ を求めよ. \end{shomon} \begin{shomon} $I_1$ を求めよ. \end{shomon} \begin{shomon} 部分積分法を用いて,$nI_n-(n+1)I_{n+2}+(\sqrt{2})^n=0$ が整数 $n$ について成り立つことを示せ. \end{shomon} \begin{shomon} $I_{-3},\,\,I_{-2},\,\,I_{3}$ を求めよ. \end{shomon} \begin{shomon} 定積分 $\dint{0}{1}\sqrt{x^2+1}\,dx$ および $\dint{0}{1}\bunsuu{dx}{(x^2+1)^2}$ を求めよ. \end{shomon} \end{mondai} \bigskip \begin{mondai}\h25 双曲線 $C:x^2-\bunsuu{y^2}{4}=-1$ について,次の問いに答えよ. \begin{shomon} $C$ の漸近線の方程式を記せ. \end{shomon} \begin{shomon} $m$ を任意の実数として,直線 $y=mx$ が曲線 $C$ に接していないことを示せ. \end{shomon} \begin{shomon} 点A $(\sqrt{3},\,\,0)$ を通る $C$ の接線の方程式をすべて求めよ. \end{shomon} \begin{shomon} $C$ 上にない点P $(p,\,\,q)$ を通る $C$ の接線がちょうど2本あって,2本の接線が直交するとき,$p,\,\,q$ がみたすべき条件を求めよ. \end{shomon} \end{mondai} \end{document}