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解答作成者: 中瀬古 佳史
入試情報
大学名 |
同志社大学 |
学科・方式 |
全学部<理> |
年度 |
2009年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理工学部 ・ 生命医科学部 ・ 文化情報学部<理>
|
カテゴリ |
関数と極限 ・ 微分法
|
状態 |
 |
\documentclass[a4j,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{emath,emathMw,emathP,emathPp}
\makeatletter
\let\emdfrac\dfrac
\let\emmod\mod
\let\emdegreee\degree
\let\emnagamaru\nagamaru
\let\emMaru\Maru
\let\dfrac\@undefined
\let\mod\@undefined
\let\degree\@undefined
\let\nagamaru\@undefined
\let\Maru\@undefined
\makeatother
\usepackage{ceo}
% ここから
\let\dfrac\emdfrac
\let\mod\emmod
\let\degreee\emdegree
\let\nagamaru\emnagamaru
\let\Maru\emMaru
\setlength{\topmargin}{-5.4truemm}
\setlength{\headheight}{0truemm}% ヘッダーの高さを確保
\setlength{\headsep}{0zh}% ヘッダーと本文領域の幅を確保
\setlength{\textheight}{257truemm}% その分,本文領域を低くする
\setlength{\footskip}{10truemm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5.4truemm}
\setlength{\evensidemargin}{-5.4truemm}
\setlength{\marginparwidth}{0truemm}
\setlength{\marginparsep}{0truemm}
\setlength{\textwidth}{170truemm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\enumSep{\topsep=1pt\parskip=0pt\parsep=0pt\itemsep=1pt}
\def\syutten#1#2{\hfill{}(#1 \,\, #2)}
\def\syuttenn#1{\hfill{} (#1)}
\def\h25{\hspace{.25zw}}
\def\mannaka#1{\hfill{} #1 \hfill{}}
\def\betumath#1{\hspace{3zw} #1}
\def\douti{ \,\, \doti \,\,}
\def\fb3{\fbox{ }}
\begin{document}
\noindent{\bf ※ すべての問題を以下に記す.}
\begin{mondai}\h25
次の \fb3 に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた \fb3 の中に記入せよ.
\begin{shomon}
3次関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ が $\dlim{x \to 1}\bunsuu{f(x)}{x^2-1}=4$,$\dlim{x \to -1}\bunsuu{f(x)}{x^2-1}=2$ をみたすとき,定数 $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d$ の値は,$a=$ \fb3,$b=$ \fb3,$c=$ \fb3,$d=$ \fb3 である.
\end{shomon}
\begin{shomon}
$\bunsuu{x-1}{x^3+1}=\bunsuu{\alpha x+\beta}{x^2-x+1}+\bunsuu{\gamma}{x+1}$ をみたす定数 $\alpha,\,\,\beta,\,\,\gamma$ を求めると,$\alpha=$ \fb3,$\beta=$ \fb3,$\gamma=$ \fb3 である.よって,$C$ を積分定数として,$\dint{}{}\bunsuu{x-1}{x^3+1}=\bunsuu{1}{3}\log\left( \fb3 \right)+C$ となる.
\end{shomon}
\begin{shomon}
$f(x)=e^{x^2}$ の第2次導関数は $f''(x)=\left(\fb3 \right)e^{x^2}$ であり,第4次導関数は $f^{(4)}(x)=\left(\fb3 \right)e^{x^2}$ である.
\end{shomon}
\end{mondai}
\bigskip
\begin{mondai}\h25
次の \kakkoichi,\kakkoni の問いに答えよ.
\begin{shomon}
$F(x)=\bunsuu{1}{2}x+\dint{0}{x}(t-x)\sin{t}\,dt$ とおく.
\begin{shimon}
導関数 $F'(x)$ および第2次導関数 $F''(x)$ を求めよ.
\end{shimon}
\begin{shimon}
$0 \leq x \leq \pi$ における $F(x)$ の最大値と最小値を求めよ.
\end{shimon}
\end{shomon}
\begin{shomon}
$E$ を2次の単位行列として,2次の正方行列 $A=\mat[a,b,b,c]$ が $A^2=E$ をみたすとする.ただし,$a,\,\,b,\,\,c$ は実数であり,$b>0$ とする.
\setcounter{shimonbango}{0}
\begin{shimon}
$a$ の値が取り得る範囲を求めよ.また,$a$ の値がその範囲にあるとき,$b$ および $c$ を $a$ で表せ.
\end{shimon}
\begin{shimon}
$A \tvec[x,1]=-\tvec[x,1]$ をみたす $x$ を $a$ で表せ.
\end{shimon}
\end{shomon}
\end{mondai}
\bigskip
\begin{mondai}\h25
定積分 $I_n=\dint{0}{\sfrac{\pi}{4}}\bunsuu{dx}{(\cos{x})^n} \,\, (n=0,\,\,\pm 1,\,\,\pm 2,\,\,\cdots)$ について次の問いに答えよ.
\begin{shomon}
$I_0,\,\,I_{-1},\,\,I_{2}$ を求めよ.
\end{shomon}
\begin{shomon}
$I_1$ を求めよ.
\end{shomon}
\begin{shomon}
部分積分法を用いて,$nI_n-(n+1)I_{n+2}+(\sqrt{2})^n=0$ が整数 $n$ について成り立つことを示せ.
\end{shomon}
\begin{shomon}
$I_{-3},\,\,I_{-2},\,\,I_{3}$ を求めよ.
\end{shomon}
\begin{shomon}
定積分 $\dint{0}{1}\sqrt{x^2+1}\,dx$ および $\dint{0}{1}\bunsuu{dx}{(x^2+1)^2}$ を求めよ.
\end{shomon}
\end{mondai}
\bigskip
\begin{mondai}\h25
双曲線 $C:x^2-\bunsuu{y^2}{4}=-1$ について,次の問いに答えよ.
\begin{shomon}
$C$ の漸近線の方程式を記せ.
\end{shomon}
\begin{shomon}
$m$ を任意の実数として,直線 $y=mx$ が曲線 $C$ に接していないことを示せ.
\end{shomon}
\begin{shomon}
点A $(\sqrt{3},\,\,0)$ を通る $C$ の接線の方程式をすべて求めよ.
\end{shomon}
\begin{shomon}
$C$ 上にない点P $(p,\,\,q)$ を通る $C$ の接線がちょうど2本あって,2本の接線が直交するとき,$p,\,\,q$ がみたすべき条件を求めよ.
\end{shomon}
\end{mondai}
\end{document}