早稲田大学 教育学部<理科系> 2001年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 教育学部<理科系>
年度 2001年度
問No 問4
学部 教育学部
カテゴリ 式と証明 ・ 数列 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[11pt][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\Nbr#1{{\fboxrule=.8pt\fboxsep=2.1mm\framebox[7mm][c]{#1}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1.8zw}\Nbr{4}\ \ \,次の関係式をみたす3つの数列\ \,\raisebox{.5pt} {$\{a_n\}\,,\ \ \{b_n\}\,,\ \ \{c_n\}$}\ \,がある。$\displaystyle \\[1.5mm] \hspace*{2.9zw} a_1^{}=0,\ \,b_1^{}=-\,1,\ \,c_1^{}=0 \\[1.5mm] \hspace*{2.9zw} a_{n\mbox{\tiny+1}}-a_n=\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 4\ }\, (b_n-2a_n) \hfill\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots \3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\,\maru{1} \hspace*{4zw}\\[1.5mm] \hspace*{2.9zw} b_{n\mbox{\tiny+1}}-b_n=\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 4\ }\, (a_n+c_n-2b_n) \hfill\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots \3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\,\maru{2} \hspace*{4zw}\\[1.5mm] \hspace*{2.9zw} c_{n\mbox{\tiny+1}}-c_n=\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 4\ }\, \{b_n+1+(-1)^n-2c_n\} \hfill\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots \3dots\3dots\,\maru{3} \hspace*{4zw}\\[1.5mm] \hspace*{10zw} (n=1,\ \ 2,\ \ 3,\ \,\3dots\3dots) \\[1.5mm] \hspace*{2.8zw} 次の問いに答えよ。\\[1.5mm] \makebox[2.8zw][l]{(\hspace*{-.5pt}\raisebox{-.5pt}{\textgt{1}}\hspace* {.5pt})} ある自然数nに対して,\ \ |\,a_n|\leqq M,\ \ |\,b_n|\leqq 2M,\ \ |\,c_n|\leqq 3Mが成り立つとき,\\[1mm] \quad\ \,\ |\,b_{n\mbox{\tiny+1}}|\ と2Mの大小を調べよ。\\[1.5mm] \makebox[2.8zw][l]{(\raisebox{-.5pt}{\textgt{2}})} すべての自然数nに 対して,\ \ |\,a_n|\hspace*{-1pt}\leqq\!M,\ \,|\,b_n|\hspace*{-1pt}\leqq\!2M, \ \,|\,c_n|\hspace*{-1pt}\leqq\!3Mが成り立つよう\\[1mm] \quad\ \,\ な最小の実数\ M\ を求めよ。\\[3mm] \makebox[2.8zw][l]{(\raisebox{-.5pt}{\textgt{3}})} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\,n\,}\textstyle\sum\limits_{k=1}^n b_k\,の値を求めよ。$ \end{document}