解答を見る
解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
早稲田大学 |
学科・方式 |
教育学部<理科系> |
年度 |
2001年度 |
問No |
問3 |
学部 |
教育学部
|
カテゴリ |
関数と極限 ・ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
|
状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=140mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\3dots{\makebox[11pt][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}}
\def\Nbr#1{{\fboxrule=.8pt\fboxsep=2.1mm\framebox[7mm][c]{#1}}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-1.8zw}\Nbr{3}\ \ \,座標平面上で,原点$Oと点\ P\ (1,\ t)\ を
結ぶ線分\ OP\ が,原点Oを中心とする半 \\[1mm]%
径1の円と交わる点を\ Q\ (x,\ y)\ とする。次の問に答えよ。\\[1mm]%
\makebox[3zw][l]{(\hspace*{-.5pt}\raisebox{-.5pt}{\textgt{1}}\hspace*{.5pt})}
x,\ \,y\ を\ t\ の関数で表せ。\\[1mm]
\makebox[3zw][l]{(\raisebox{-.5pt}{\textgt{2}})}この円の2点\ A\ (1,\ 0),\ \ %
Q\ (x,\ y)\ 間の弧\ AQ\ の長さを \ s=f(t)\ とするとき,\displaystyle \\[1mm]
\qquad \frac{\,ds\,}{dt}\ を求めよ。 \\[2mm]
\makebox[3zw][l]{(\raisebox{-.5pt}{\textgt{3}})} nを自然数とし,\\[1mm]
\hspace*{3zw} a_n=\sqrt{\,3\,}\,n\ \biggl(\frac{1}{\,3n^2+1^2\,}
+\frac{1}{\,3n^2+2^2\,}+\3dots\3dots+\frac{1}{\,3n^2+n^2\,}\biggr) \\[1mm]
\hspace*{3zw} b_n=\sqrt{\,3\,}\,n\ \biggl(\frac{1}{\,3n^2\,}
+\frac{1}{\,3n^2+1^2\,}+\3dots\3dots+\frac{1}{\,3n^2+(n-1)^2\,}\biggr) \\[1.5mm]
\qquad とおく。このとき \\[1mm]
\hspace*{3zw} a_n,\ \,b_n,\ \,\frac{\,a_n+b_n\,}{2},\ \,
f\biggl(\frac{1}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\biggr) \\[1.5mm]
\qquad の大小関係を調べ,小さい順に並べよ。\\[2mm]
\makebox[3zw][l]{(\raisebox{-.5pt}{\textgt{4}})}
\underset{\mbox{\tiny$n\!\to\!\infty$}}{\mbox{l\hspace*{1pt}i\hspace*{1pt}m}}
\frac{\,a_n+b_n\,}{2}\ の値を求めよ。$
\end{document}