早稲田大学 教育学部<理科系> 2001年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 教育学部<理科系>
年度 2001年度
問No 問3
学部 教育学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[11pt][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\Nbr#1{{\fboxrule=.8pt\fboxsep=2.1mm\framebox[7mm][c]{#1}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1.8zw}\Nbr{3}\ \ \,座標平面上で,原点$Oと点\ P\ (1,\ t)\ を 結ぶ線分\ OP\ が,原点Oを中心とする半 \\[1mm]% 径1の円と交わる点を\ Q\ (x,\ y)\ とする。次の問に答えよ。\\[1mm]% \makebox[3zw][l]{(\hspace*{-.5pt}\raisebox{-.5pt}{\textgt{1}}\hspace*{.5pt})} x,\ \,y\ を\ t\ の関数で表せ。\\[1mm] \makebox[3zw][l]{(\raisebox{-.5pt}{\textgt{2}})}この円の2点\ A\ (1,\ 0),\ \ % Q\ (x,\ y)\ 間の弧\ AQ\ の長さを \ s=f(t)\ とするとき,\displaystyle \\[1mm] \qquad \frac{\,ds\,}{dt}\ を求めよ。 \\[2mm] \makebox[3zw][l]{(\raisebox{-.5pt}{\textgt{3}})} nを自然数とし,\\[1mm] \hspace*{3zw} a_n=\sqrt{\,3\,}\,n\ \biggl(\frac{1}{\,3n^2+1^2\,} +\frac{1}{\,3n^2+2^2\,}+\3dots\3dots+\frac{1}{\,3n^2+n^2\,}\biggr) \\[1mm] \hspace*{3zw} b_n=\sqrt{\,3\,}\,n\ \biggl(\frac{1}{\,3n^2\,} +\frac{1}{\,3n^2+1^2\,}+\3dots\3dots+\frac{1}{\,3n^2+(n-1)^2\,}\biggr) \\[1.5mm] \qquad とおく。このとき \\[1mm] \hspace*{3zw} a_n,\ \,b_n,\ \,\frac{\,a_n+b_n\,}{2},\ \, f\biggl(\frac{1}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\biggr) \\[1.5mm] \qquad の大小関係を調べ,小さい順に並べよ。\\[2mm] \makebox[3zw][l]{(\raisebox{-.5pt}{\textgt{4}})} \underset{\mbox{\tiny$n\!\to\!\infty$}}{\mbox{l\hspace*{1pt}i\hspace*{1pt}m}} \frac{\,a_n+b_n\,}{2}\ の値を求めよ。$ \end{document}