慶應義塾大学 理工学部 2001年度 問5

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2001年度
問No 問5
学部 理工学部
カテゴリ 順列と組み合わせ ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \noindent\hspace*{-10pt}{\Large\textbf{B\,2}} \\ \,10 進\hspace*{1pt}法\hspace*{1pt}で\hspace*{1pt}表\hspace*{1pt}さ\hspace* {1pt}れ\hspace*{1pt}た\hspace*{1pt}自\hspace*{1pt}然\hspace*{1pt}数\ $n$\ の% \hspace*{1pt}各\hspace*{1pt}桁\hspace*{1pt}の\hspace*{1pt}数\hspace*{1pt}% \hspace*{1pt}字\hspace*{1pt}の\hspace*{1pt}和\hspace*{1pt}を\ $s(n)$ と\hspace* {1pt}す\hspace*{1pt}る。た\hspace*{1pt}と\hspace*{1pt}え\hspace*{1pt}ば $ \\ [1mm]\,n=126\ \ のとき\ \ s(n)=1+2+6=9\ \ である。自然数\ \ k\ \ と\ \ m\ \ に対して,\\[1mm]\,s(n)=m\ \,となる\ \,k\ \,桁の自然数\ \,n\ \,の個数を\ \, S(k,\,m)\ \,で表すことにする。たと\\[1mm]えば\ s(n)=3\ となる2桁の自然数\ n\ は \ 12,\,21,\,30\ のみであるので \ S(2,\,3)=3 \\[1mm]となる。\\[2mm] \,(\,1\,)\ \ \,任意の自然数\ \,k\ (k\geqq 2)\ \,に対して,\\[1mm] \hspace*{7.5zw} S(k,\,m)=\sum\limits_{i=1}^m S(k-1,\,i),\ \ \, m=1,\,2,\,\cdot\!\cdot\!\cdot\,,\,9 \\[1.5mm] \quad\ \ が成立することを示しなさい。\\[2mm] \,(\,2\,)\ \ \,異なる\ n\ 個のものから\ r\ 個を取る組の総数を\ {}_nC_r\ とする。ただし\ {}_0C_0=1 \\[1mm]\quad\ \ である。等式 \\[1mm] \hspace*{12zw} {}_nC_r=\sum\limits_{i=1}^{n-r+1} {}_{n-i}C_{n-i-r+1} \\ [1.5mm]\quad\ \ が任意の自然数\ n,\,r\,(n\geqq r\geqq 1)\ について成立すること を示しなさい。\\[2mm] \,(\,3\,)\ \ \,任意の自然数\ k\ (k\geqq 2)\ に対して,\\[.5mm] \hspace*{7.5zw} S(k,\,m)={}_{k+m-2}C_{m-1},\ \ \, m=1,\,2,\,\cdot\!\cdot\!\cdot\,,\,9 \\[1mm] \quad\ \ が成立することを示しなさい。$ \end{document}