センター試験 数学Ⅱ・B 2010年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2010年度
問No 問4
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
・平行6面体で4年連続の空間ベクトルの出題
・図があるのでありがたい
・誘導がうるさくかえって窮屈か
・計算が主体で図形的考察はほとんどない
・手数は多く息は長い
・最後は空間のベクトルの一次独立を用いて方程式を立てる(初めて?)
コロパパ さん 2010/10/30 20:36:42 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\ZK#1{\left|#1\right|} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ 二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD$-$EFGHがあり,$\Kaku{EAB}=\Kaku{DAB}=\dfrac{\pi}{2}$,$\Kaku{EAD}=\dfrac{\pi}{3}$である。$\Vec{AB}=\vec{p},\,$\\ $\Vec{AD}=\vec{q},\,\Vec{AE}=\vec{r}$とおく。 \begin{center} \includegraphics[width=10cm,clip]{center2010-2b-4mondai1.eps} \end{center} $0<a<1,\,0<b<1$とする。辺ABを$a:(1-a)$の比に内分する点をX,辺BFを$b:(1-b)$の比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面を$\alpha$とする。 \begin{shomon} $\vns{p}{q}=\vns{p}{r}=\FBA{ア},\,\vns{q}{r}=\dfrac{\FBA{イ}}{\FBA{ウ}}$である。ベクトル$\Vec{XY}$は,$a,\,b,\,\vec{p},\,\vec{r}$を用いて$\Vec{XY}=\SK{1-\FBA{エ}}\vec{p}+\FBA{オ}\vec{r}$と表される。\\ \quad $\Vns{EC}{XZ}=\FBA{カ}$である。 \end{shomon} \begin{shomon} 直線ECと平面$\alpha$が垂直に交わるとし,交点をKとする。$\Vec{EC}$が三角形XYZの2辺と垂直であることから,$\FBA{キ}a+b=\FBA{ク}$が成り立つ。\\ \quad 以下では,$b=\dfrac{1}{2}$とする。このとき$a=\dfrac{\FBA{ケ}}{\FBA{コ}}$である。$\Vec{EK}$を実数$c$を用いて$\Vec{EK}=c\Vec{EC}$と表すと,$\Vec{AK}=\Vec{AE}+c\Vec{EC}$である。一方,点Kは平面$\alpha$上にあるから,$\Vec{AK}$は実数$s,\,t$を用いて\\[-10pt] \begin{align*} \Vec{AK} &=\Vec{AX}+s\Vec{XY}+t\Vec{XZ}\\ &=\SK{\frac{1}{\FBA{サ}}s+\frac{\FBAS{ケ}}{\FBAS{コ}}}\vec{p}+t\vec{q}+\SK{\frac{1}{\FBA{シ}}s+t}\vec{r} \end{align*} と表される。これらにより,$c=\dfrac{\FBA{ス}}{\FBA{セ}}$である。よって,点Eと平面$\alpha$との距離$\Vabs{\Vec{EK}}$は$\dfrac{\FBA{ソ}\dsqrt{\FBA{タ}}}{\FBA{チ}}$となる。 \end{shomon} \end{document}