センター試験 数学Ⅱ・B 2010年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2010年度
問No 問2
学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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1
・(1)は接線の本数,(2)は面積で独立問題
・(1)は,定数を分離して方程式の解の個数を調べる。(文系の生徒は慣れているか?)
・(2)の後半の面積計算は例年より手間が少なく疲労が少ない
・2つのグラフを正確に書いたりしなくても(上下関係だけ知れば)面積は求めることができる。時間のロスを避けたい
・積分は07年に続き隠れ3次関数であり,違和感残る。出題者が形式的にだけ順法した(3次関数の積分は範囲外ということになっている)
コロパパ さん 2010/10/30 20:05:52 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \h{\large \gt{第2問}}(配点 \; 30)\\ $k$を実数とし,座標平面上に点P$(1,\,0)$をとる。曲線 \[y=-x^3+9x^2+kx\] を$C$とする。 \begin{shomon} 点Q$(t,\,-t^3+9t^2+kt)$における曲線$C$の接線が点Pを通るとすると \[-\FBA{ア}t^3+\FBA{イウ}t^2-\FBA{エオ}t=k\] が成り立つ。 \[p(t)=-\FBAS{ア}t^3+\FBAS{イウ}t^2-\FBAS{エオ}t\] とおくと,関数$p(t)$は$t=\FBA{カ}$で極小値\FBA{キク}をとり,$t=\FBA{ケ}$で極大値\\ \FBA{コ}をとる。\\ \quad したがって,点Pを通る曲線$C$の接線の本数がちょうど2本となるのは,$k$の値が\FBA{サ}または\FBA{シス}のときである。また,点Pを通る曲線$C$の接線の本数は$k=5$のとき\FBA{セ}本,$k=-2$のとき\FBA{ソ}本,$k=-12$のとき\FBA{タ}本となる。 \end{shomon} \begin{shomon} $k=0$とする。曲線 \[y=-x^3+6x^2+7x\] を$D$とする。曲線$C$と$D$の交点の$x$座標は\FBA{チ}と$\dfrac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}$である。\\ \quad $-1 \leq x \leq 2$の範囲において,2曲線$C,\,D$および2直線$x=-1,\,x=2$で囲まれた二つの図形の面積の和は$\dfrac{\FBA{トナ}}{\FBA{ニ}}$である。 \end{shomon} \end{document}