センター試験 数学Ⅱ・B 2010年度 問1

解答を見る

解答作成者: 山田 慶太郎

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2010年度
問No 問1
学部
カテゴリ 複素数と方程式 ・ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

全件表示

No メッセージ 投稿者 日時    
1
[2]・[式:…]を知っている生徒が結構いるのにおどろき
・3次方程式②は,因数[式:…]を持つことに注意して因数分解する
コロパパ さん 2010/10/30 19:56:20 報告
2
ここ数年のセンターⅡBの平均点は次の通り
2006-57.7
2007-48.4
2008-51.0
2009-50.9
2010-57.12
2010年度は(数ⅠAが例外的に難しかったのに呼応して?)例外的な易しさでした。(2006年度も新課程初年度で例外的で,それ以前はすっと50点前後で推移しています)。
コロパパ さん 2010/10/30 20:16:08 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\ \BK{\kagiichi} 連立方程式 \begin{align*} \h\asta \begin{cases} xy=128 &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\maruichi\\[4pt] \frac{1}{\log_2x}+\frac{1}{\log_2y}=\frac{7}{12} &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\maruni \end{cases} \end{align*} を満たす正の実数$x,\,y$を求めよう。ただし,$x\neq 1,\,y\neq 1$とする。\mruichi の両辺で2を底とする対数をとると \[\h \log_2x+\log_2y=\FBA{ア}\] が成り立つ。これと\mruni より \[\h (\log_2x)(\log_2y)=\FBA{イウ}\] である。\\ \quad したがって,$\log_2x,\,\log_2y$は2次方程式 \[\h t^2-\FBA{エ}t+\FBA{オカ}=0\Cdots\marusan\] の解である。\mrusan の解は$t=\FBA{キ},\,\FBA{ク}$である。ただし,\FBAS{キ}と\FBAS{ク}は解答の順序を問わない。よって,連立方程式$\asta$の解は$(x,\,y)=\SK{\FBA{ケ},\,\FBA{コサ}}$または$(x,\,y)=\SK{\FBAS{コサ},\,\FBAS{ケ}}$である。 \EK \vspace{4mm} \BK{\kagini} $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$の範囲で \[\h \sin4\theta=\cos\theta\Cdots\maruichi\] を満たす$\theta$と$\sin\theta$の値を求めよう。\\ \quad 一般に,すべての$x$について \[\h \cos x=\sin\SK{\FBA{シ}-x}\] である。\FBAS{シ}に当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamaruni}のうちから一つ選べ。\\ \NM{\nagamarurei}\quad $\pi$\hspace{11zw} \NM{\nagamaruichi}\quad $\dfrac{\pi}{2}$\hspace{11zw} \NM{\nagamaruni}\quad $-\dfrac{\pi}{2}$\\ \quad したがって,\mruichi が成り立つとき,$\sin4\theta=\sin\SK{\FBAS{シ}-\theta}$となり,$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$の範囲で$4\theta,\,\FBAS{シ}-\theta$のとり得る値の範囲を考えれば,$4\theta=\FBAS{シ}-\theta$または$4\theta=\pi-\SK{\FBAS{シ}-\theta}$となる。よって\mruichi を満たす$\theta$は$\theta=\dfrac{\pi}{\FBA{ス}}$または$\theta=\dfrac{\pi}{\FBA{セソ}}$である。\\ \quad $\sin\dfrac{\pi}{\FBAS{ス}}=\dfrac{\FBA{タ}}{\FBA{チ}}$である。$\sin\dfrac{\pi}{\FBAS{セソ}}$の値を求めよう。\mruichi より \[\h\FBA{ツ}\sin2\theta\cos2\theta=\cos\theta\] となり,この式の左辺を2倍角の公式を用いて変形すれば \[\h\SK{\FBA{テ}\sin\theta-\FBA{ト}\sin^3\theta}\cos\theta=\cos\theta\] となる。ここで$\cos\theta>0$であるから \[\h\FBAS{ト}\sin^3\theta-\FBAS{テ}\sin\theta+1=0 \Cdots\maruni\] が成り立つ。$\sin\theta=\dfrac{\FBAS{タ}}{\FBAS{チ}}$は\mruni を満たしている。$\theta=\dfrac{\pi}{\FBAS{セソ}}$とすると,\\ $\sin\theta\neq\dfrac{\FBAS{タ}}{\FBAS{チ}}$であるから \[\h\FBA{ナ}\sin^2\theta+\FBA{ニ}\sin\theta-1=0\] となる。ここで,$\sin\dfrac{\pi}{\FBAS{セソ}}>0$より \[\h\sin\dfrac{\pi}{\FBAS{セソ}}=\frac{\FBA{ヌネ}+\dsqrt{\FBA{ノ}}}{\FBA{ハ}}\] である。 \EK \end{document}