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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
大学名 |
センター試験 |
学科・方式 |
数学Ⅱ・B |
年度 |
2010年度 |
問No |
問1 |
学部 |
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カテゴリ |
複素数と方程式 ・ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
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状態 |
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全件表示
No |
メッセージ |
投稿者 |
日時 |
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1 |
[2]・ ![\sin \frac{ \pi }{10} = \frac{-1+ \sqrt{5} }{4} [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi? \sin \frac{ \pi }{10} = \frac{-1+ \sqrt{5} }{4} ) を知っている生徒が結構いるのにおどろき ・3次方程式②は,因数 ![2 \sin \theta -1 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?2 \sin \theta -1) を持つことに注意して因数分解する |
コロパパ さん
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2010/10/30 19:56:20 |
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報告
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2 |
ここ数年のセンターⅡBの平均点は次の通り 2006-57.7 2007-48.4 2008-51.0 2009-50.9 2010-57.12 2010年度は(数ⅠAが例外的に難しかったのに呼応して?)例外的な易しさでした。(2006年度も新課程初年度で例外的で,それ以前はすっと50点前後で推移しています)。 |
コロパパ さん
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2010/10/30 20:16:08 |
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報告
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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\quad\dotfill}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\setlength{\textheight}{40\baselineskip}
\begin{document}
\h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\
\BK{\kagiichi}
連立方程式
\begin{align*}
\h\asta
\begin{cases}
xy=128 &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\maruichi\\[4pt]
\frac{1}{\log_2x}+\frac{1}{\log_2y}=\frac{7}{12} &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\maruni
\end{cases}
\end{align*}
を満たす正の実数$x,\,y$を求めよう。ただし,$x\neq 1,\,y\neq 1$とする。\mruichi の両辺で2を底とする対数をとると
\[\h \log_2x+\log_2y=\FBA{ア}\]
が成り立つ。これと\mruni より
\[\h (\log_2x)(\log_2y)=\FBA{イウ}\]
である。\\
\quad
したがって,$\log_2x,\,\log_2y$は2次方程式
\[\h t^2-\FBA{エ}t+\FBA{オカ}=0\Cdots\marusan\]
の解である。\mrusan の解は$t=\FBA{キ},\,\FBA{ク}$である。ただし,\FBAS{キ}と\FBAS{ク}は解答の順序を問わない。よって,連立方程式$\asta$の解は$(x,\,y)=\SK{\FBA{ケ},\,\FBA{コサ}}$または$(x,\,y)=\SK{\FBAS{コサ},\,\FBAS{ケ}}$である。
\EK
\vspace{4mm}
\BK{\kagini}
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$の範囲で
\[\h \sin4\theta=\cos\theta\Cdots\maruichi\]
を満たす$\theta$と$\sin\theta$の値を求めよう。\\
\quad
一般に,すべての$x$について
\[\h \cos x=\sin\SK{\FBA{シ}-x}\]
である。\FBAS{シ}に当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamaruni}のうちから一つ選べ。\\
\NM{\nagamarurei}\quad $\pi$\hspace{11zw}
\NM{\nagamaruichi}\quad $\dfrac{\pi}{2}$\hspace{11zw}
\NM{\nagamaruni}\quad $-\dfrac{\pi}{2}$\\
\quad
したがって,\mruichi が成り立つとき,$\sin4\theta=\sin\SK{\FBAS{シ}-\theta}$となり,$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$の範囲で$4\theta,\,\FBAS{シ}-\theta$のとり得る値の範囲を考えれば,$4\theta=\FBAS{シ}-\theta$または$4\theta=\pi-\SK{\FBAS{シ}-\theta}$となる。よって\mruichi を満たす$\theta$は$\theta=\dfrac{\pi}{\FBA{ス}}$または$\theta=\dfrac{\pi}{\FBA{セソ}}$である。\\
\quad
$\sin\dfrac{\pi}{\FBAS{ス}}=\dfrac{\FBA{タ}}{\FBA{チ}}$である。$\sin\dfrac{\pi}{\FBAS{セソ}}$の値を求めよう。\mruichi より
\[\h\FBA{ツ}\sin2\theta\cos2\theta=\cos\theta\]
となり,この式の左辺を2倍角の公式を用いて変形すれば
\[\h\SK{\FBA{テ}\sin\theta-\FBA{ト}\sin^3\theta}\cos\theta=\cos\theta\]
となる。ここで$\cos\theta>0$であるから
\[\h\FBAS{ト}\sin^3\theta-\FBAS{テ}\sin\theta+1=0 \Cdots\maruni\]
が成り立つ。$\sin\theta=\dfrac{\FBAS{タ}}{\FBAS{チ}}$は\mruni を満たしている。$\theta=\dfrac{\pi}{\FBAS{セソ}}$とすると,\\
$\sin\theta\neq\dfrac{\FBAS{タ}}{\FBAS{チ}}$であるから
\[\h\FBA{ナ}\sin^2\theta+\FBA{ニ}\sin\theta-1=0\]
となる。ここで,$\sin\dfrac{\pi}{\FBAS{セソ}}>0$より
\[\h\sin\dfrac{\pi}{\FBAS{セソ}}=\frac{\FBA{ヌネ}+\dsqrt{\FBA{ノ}}}{\FBA{ハ}}\]
である。
\EK
\end{document}