慶應義塾大学 理工学部 2001年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2001年度
問No 問3
学部 理工学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=131mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\framebox[12.5mm][c]{\small #1}} \begin{document} \noindent\hspace*{-10pt}{\Large\textbf{A\,3}} \\ $\,xyz$\,座標空間内の点 P, Q, R が時間$tとともに\ \mbox{P}=(t,\,0,\,0),\ \, \mbox{Q}=(0,\,t,\,0),\\[1mm]\,\mbox{R}=(t,\,t,\,1)\ のように動く。\ t$が0から1まで動いたときに三角形\ PQR\ が通過\\[1mm]してできる立体\ D\ の体積$ \ V\ を求めよう。まず,この立体の表面上に点の\ x\ 座\\[1mm] 標が\ x\ で,\ \,y\ \,座標が\ \,y\ \,のときの\ \,z$ \,座標を求める。 この立体 \,D \,を下から,つま\\[1mm]り\ $z$\ 座標が負の位置から眺めたときに 見える底面の\ $z\ 座標は\ x+y\leqq 1\ ならば\\[1mm] z=0,\ \,x+y>1\ \,ならば\ \, z=\,\kobox{(シ)}\ \,のように\ x,\,\,y\ の関数として表せる。ま\\[1mm]た逆に 上から眺めたとき,表面の点は,\ \,x\leqq y\ ならば \ t=y$\,と置いたときの線分\\ [1mm]QR\ 上に存在するので,$z=\,\kobox{(ス)}\ \,と\ x,\,\,y\ \,の関数として 表せ,同様に\ x>y \\[1mm]ならば \ \,z=\,\kobox{(セ)}\ \,と表せる。したがって, \ \ \,0\leqq y\leqq 1\ \,のとき,\ \ \,xz\ 平面と平\\[1mm]行で点\ \, (0,\,y,\,0)$\ \,を通る平面による立体\ \,D\ \,の切り口の面積は\ \ $S(y)=\, \kobox{(ソ)} \\[1mm]であり,その体積は \ \ V=\,\kobox{(タ)}$\ \ のように求めら れる。\ ただし,\,$0\,\log\,0=0 \\[1mm]とする。$ \end{document}