慶應義塾大学 理工学部 2001年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2001年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 数列 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=131mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\framebox[12.5mm][c]{\small #1}} \begin{document} \noindent\hspace*{-10pt}{\Large\textbf{A\,2}} \\ いちど赤から青に変わったら青のままである信号を何回か観測する。この信号\\ [1mm]は,第1回の観測を始める前,つまり0 回目には赤であるとする。この信号が\\ [1mm]\,$i-1回目\ (i\geqq 1)\ の観測までは赤であってi回目の観測では青である確率 をp_i^{} \\[.5mm]とする。ただし,\ \ p_i^{}>0であり,任意の自然数nに対して\ \sum\limits_{i=1}^n p_i^{}<1\ であると\\[.5mm]する。この信号がk回目の観測で青 である確率は,何回目の観測で青に変わった\\[1mm]かによって, この事象を排反事象 に分けて考えれば,\ \ \kobox{(カ)}\ と表せる。そこで,\\[1mm] \,q_k^{}=1-(カ)\ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdot\!\cdot\!\cdot\,)とおけば,それまで赤で あった信号がk回目に \\[1mm]青に変わる条件付き確率は,\ \ \lambda_k =\dfrac{\ \kobox{(キ)}\ }{q_{k-1}^{}}\,\,(k=1,\ 2,\ 3,\ \cdot\!\cdot\!\cdot\,) \,である。ただし\\[1mm]\,q_0^{}=1\ とする。比\ \,\dfrac{q_k^{}}{\,q_{k-1}^{}\,} \ \,は \ \,\kobox{(ク)}\ \,であり,\ \ \lambda_k\ のみによって定まるので,\\ [1mm]\log q_k^{}\ は \ \lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdot\!\cdot\!\cdot,\ \lambda_k \ のみを用いて \ \,\kobox{(ケ)}\ \,と表せる。定数\ \,\lambda\ \,(0<\lambda<1)\\ [.5mm]に対して,いつまでも信号が青に変わらない確率 \ q=\lim\limits_{k\to\infty} q_k^{}=1-\sum\limits_{i=1}^\infty p_i^{} \ は,\\[1mm] \,\lambda_k=\lambda\ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdot\!\cdot\!\cdot\,)\,ならば \ \, q=\kobox{(コ)}\ \,であり,\ \ \lambda_k=1-e^{-\lambda^k}\ (k=1, \\[1.5mm] \,2,\ 3,\ \cdot\!\cdot\!\cdot\,)\,ならば \ \,q=\kobox{(サ)}\ \,である。$ \end{document}