解答を見る
解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
慶應義塾大学 |
学科・方式 |
理工学部 |
年度 |
2001年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理工学部
|
カテゴリ |
積分法の応用 ・ いろいろな曲線
|
状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=131mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic}
\pagestyle{empty}
\def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\framebox[12.5mm][c]{\small #1}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-10pt}{\Large\textbf{A\,1}} \\
原点\ O\ を中心とする半径1の円を\ C\ とする。半径\ $\frac{\,2\,}{5}$\ の円\ \,%
C$'$ が,円\ C\ に内\\[.5mm]接しながら滑らずにころがったときの円\ \ C$'$\ \,上
の点\ \ P\ \ の軌跡を考える。ただ\\[.5mm]し,はじめに,円\ \,C$'$\ \,の中心%
\ \,O$'\ \,は\ \bigl(\frac{\,3\,}{5},\ 0\,\bigr)$\ の位置,点\ P\ は\ $
\mathrm{P_0}=(1,\ 0)$ \ の位\ \\[.5mm]置にあったものとする。円\ C\ と円\ C$'
$\ の接点を\ Q\ として,O$'$Q\ と\ O$'$P\ のなす\\[.5mm]角が\makebox[1.5zw][c]
{$\theta$}$(\,\theta\geqq 0)$ \,のとき,OQ\ と\ O$\mathrm{P_0}\ \,のなす角
\makebox[1.5zw][c]{$\alpha$}(\,\alpha\geqq 0)\ は\ \,\alpha=\,\kobox{(ア)}\ \,
の\\[.5mm]ように\ \,\theta$\ \,から定まる。このとき,Pの座標も$\,x\,\,座標が
\ \,x=\,\kobox{(イ)}\,,\ \ y\,\,座標\\[.5mm]が\ \,y=\,\kobox{(ウ)}\ \,のように
\makebox[1.6zw][c]{$\theta$}で定まる。\ \ \mathrm{P\ がふたたび位置\ \,P_0}\
$に戻ったとき,\\[.5mm]円\ C$'\ は\ \theta=\,\kobox{(エ)}$\ \,だけ回転している
ので,それまでに\ P\ の描いた曲線の全\\[.5mm]長は\ \,\kobox{(オ)}\ \,である。\\
\hspace*{17zw}\begin{picture}(100,150)
\path(-95,0)(95,0)\path(93,-2)(95,0)(93,2) \put(101,-2){\footnotesize$x$}
\path(0,-65)(0,95)\path(-2,93)(0,95)(2,93) \put(-3,102){\footnotesize$y$}
\put(0,0){\circle{120}}\put(0,0){\circle*{2}} \put(-9,-8){\footnotesize O}
\path(0,0)(42.43, 42.43) \put(21,28){\footnotesize O$'$}
\put(25.4, 25.4){\arc{10}{-0.7}{1.2}} \put(31,20){\footnotesize$\theta$}
\put(0,0){\arc{10}{-0.785}{0}} \put(6,1){\footnotesize$\alpha$}
\put(25.4, 25.4){\circle{48}} \path(25.4, 25.4)(33,3)
\put(33,3){\circle*{2}} \put(35,-4){\footnotesize P}
\put(42.43, 42.43){\circle*{2}} \put(43,44){\footnotesize Q}
\put(60,0){\circle*{2}} \put(62,-9){\footnotesize P}\put(66,-9){\tiny${}_0$}
\put(-55,44){\footnotesize C} \put(6,47){\footnotesize C$'$}
\end{picture}
\end{document}