慶應義塾大学 理工学部 2001年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2001年度
問No 問1
学部 理工学部
カテゴリ 積分法の応用 ・ いろいろな曲線
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=131mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\framebox[12.5mm][c]{\small #1}} \begin{document} \noindent\hspace*{-10pt}{\Large\textbf{A\,1}} \\ 原点\ O\ を中心とする半径1の円を\ C\ とする。半径\ $\frac{\,2\,}{5}$\ の円\ \,% C$'$ が,円\ C\ に内\\[.5mm]接しながら滑らずにころがったときの円\ \ C$'$\ \,上 の点\ \ P\ \ の軌跡を考える。ただ\\[.5mm]し,はじめに,円\ \,C$'$\ \,の中心% \ \,O$'\ \,は\ \bigl(\frac{\,3\,}{5},\ 0\,\bigr)$\ の位置,点\ P\ は\ $ \mathrm{P_0}=(1,\ 0)$ \ の位\ \\[.5mm]置にあったものとする。円\ C\ と円\ C$' $\ の接点を\ Q\ として,O$'$Q\ と\ O$'$P\ のなす\\[.5mm]角が\makebox[1.5zw][c] {$\theta$}$(\,\theta\geqq 0)$ \,のとき,OQ\ と\ O$\mathrm{P_0}\ \,のなす角 \makebox[1.5zw][c]{$\alpha$}(\,\alpha\geqq 0)\ は\ \,\alpha=\,\kobox{(ア)}\ \, の\\[.5mm]ように\ \,\theta$\ \,から定まる。このとき,Pの座標も$\,x\,\,座標が \ \,x=\,\kobox{(イ)}\,,\ \ y\,\,座標\\[.5mm]が\ \,y=\,\kobox{(ウ)}\ \,のように \makebox[1.6zw][c]{$\theta$}で定まる。\ \ \mathrm{P\ がふたたび位置\ \,P_0}\ $に戻ったとき,\\[.5mm]円\ C$'\ は\ \theta=\,\kobox{(エ)}$\ \,だけ回転している ので,それまでに\ P\ の描いた曲線の全\\[.5mm]長は\ \,\kobox{(オ)}\ \,である。\\ \hspace*{17zw}\begin{picture}(100,150) \path(-95,0)(95,0)\path(93,-2)(95,0)(93,2) \put(101,-2){\footnotesize$x$} \path(0,-65)(0,95)\path(-2,93)(0,95)(2,93) \put(-3,102){\footnotesize$y$} \put(0,0){\circle{120}}\put(0,0){\circle*{2}} \put(-9,-8){\footnotesize O} \path(0,0)(42.43, 42.43) \put(21,28){\footnotesize O$'$} \put(25.4, 25.4){\arc{10}{-0.7}{1.2}} \put(31,20){\footnotesize$\theta$} \put(0,0){\arc{10}{-0.785}{0}} \put(6,1){\footnotesize$\alpha$} \put(25.4, 25.4){\circle{48}} \path(25.4, 25.4)(33,3) \put(33,3){\circle*{2}} \put(35,-4){\footnotesize P} \put(42.43, 42.43){\circle*{2}} \put(43,44){\footnotesize Q} \put(60,0){\circle*{2}} \put(62,-9){\footnotesize P}\put(66,-9){\tiny${}_0$} \put(-55,44){\footnotesize C} \put(6,47){\footnotesize C$'$} \end{picture} \end{document}