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解答作成者: 伊藤 愁一
入試情報
大学名 |
北海道大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
2004年度 |
問No |
問2 |
学部 |
理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 獣医 ・ 水産
|
カテゴリ |
行列と連立一次方程式
|
状態 |
 |
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%\usepackage{bm}
\newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}}
% math-italic の bold 体が使える.
% 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体
\newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\def\Noteq{\mathrel{%
\setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}}
\newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}}
\newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}}
\newcommand{\Dfrac}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}}
\newcommand{\Frac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}}
\newcommand{\comb}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}\,{}_{#2}}
\newcommand{\parm}[2]{{}_{#1}\mathrm{P}\,{}_{#2}}
\linespread{1.2}
\def\labelenumi{(\theenumi)}
\def\labelenumii{(\theenumii)}
\def\labelenumiii{(\theenumiii)}
\def\theenumi{\arabic{enumi}}
\def\theenumii{\roman{enumii}}
\def\theenumiii{\alph{enumiii}}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
$A$ を $2$ 次の正方行列\,$A = \,\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$~~(ただし,$bc \Noteq 0$),$k$ を実数とする.
行列 $X = \,\begin{pmatrix} x & y \\ z & -x \end{pmatrix}$ について等式 ~$XA-AX =kA \cdots(*)$
を考える.ただし,行列の成分はすべて実数とする.
\begin{enumerate}
\item $k = 0$ のとき,$(*)$ をみたす $X$ は $A$ の実数倍であることを示せ.
\item $k \Noteq 0$ のとき,$(*)$ をみたす $X$ が存在するための必要十分条件は $A^{2} = O~(ただし,O は零行列)$ であることを示せ.このとき,$(*)$ を満たす $X$ で $z=c$ であるものを求めよ.
\end{enumerate}
\end{document}