センター試験 数学Ⅰ・A 2001年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2001年度
問No 問4
学部
カテゴリ 平面幾何
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}\quad (\textgt{選択問題})\quad (配点 \; 20)\\ 半径1の円Oの直径ABによって分けられる半円周上を動く点Cがある。$\sankaku$ABCの内接円の中心をDとし,線分CDの延長と円Oの交点をEとする。\\ \quad 次の文章中の\FBB{アイウ}と\FBB{クケコ}については,当てはまる文字をA~Eのうちから選べ。ただし,\textgt{ア}と\textgt{ウ},\textgt{ク}と\textgt{コ}は解答の順序を問わない。 \begin{center} \includegraphics[width=10cm,clip]{center2001-1a-4sankou1.eps} \end{center} 点Dの軌跡を調べよう。Dは$\sankaku$ABCの内心であるから, \[\Kaku{ACD}=\frac{1}{2}\Kaku{\FBB{アイウ}}\] であり,$\Kaku{ABE}=\Kaku{ACE}$により,$\Kaku{ABE}=\FBA{エオ}\Shisu{\circ}$となる。よって,A,Bが定点であるから,Eは定点であることがわかる。次に,$\sankaku$EBDにおいて, \[\Kaku{EDB}=\Kaku{DCB}+\Kaku{DBC},\,\Kaku{EBD}=\Kaku{ABE}+\Kaku{DBA}\] に注意すると, \[\Kaku{EDB}=\FBA{カキ}\Shisu{\circ}+\frac{1}{2}\Kaku{\FBB{クケコ}}=\Kaku{EBD}\] となる。したがって,$\sankaku$EBDは二等辺三角形で$\text{ED}=\text{EB}$である。これによりDの軌跡はEを中心とした半径$\dsqrt{\FBA{サ}}$の円弧であることがわかる。\\ \quad $\sankaku$ABCの内接円の半径を$r$とし,Eからこの内接円に引いた接線の接点とEとの距離を$\ell$とする。$\ell^2=\FBA{シ}-r^2$であるから,$\Kaku{ABC}=\FBA{スセ}\Shisu{\circ}$のとき$\ell$は最小となり,そのとき$\ell^2=\FBA{ソ}\dsqrt{\FBA{タ}}-\FBA{チ}$である。 \end{document}